Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

(una para cada W J ) en función de las N incógnitas φ I . Resulta entonces un sistema lineal de
ecuaciones
A Φ + F = 0
donde Φ es un vector de dimensión N que agrupa a las incógnitas φ I , la matriz de coeficientes A
se calcula como
∫ [
] [
]
A JI = W J ρu dϕI (x)
− Γ d2 ϕ I (x)
dx + W J
L dx dx 2 L −ρuϕ I (x) + Γ dϕI (x)
(4.12)
dx
x=L
∫ [(
) ] [ (
) ]
F J = W J ρu dϕ0 (x)
− Γ d2 ϕ 0 (x)
¯φ − q dx + W J
L
dx dx 2 L ¯σ − ρuϕ 0 (x) − Γ dϕ0 (x)
dx
x=L
(4.13)
La elección de la función de ponderación conduce a formulaciones diferentes. En principio las
W I (x) sólo requieren como condición indispensable la de independencia lineal, sin embargo una
adecuada elección es crucial desde el punto de vista numérico.
La aproximación de Galerkin (método de elementos finitos estándar) propone usar como función
de peso una forma idéntica a la función de interpolación de la variable (4.11)
w (x) =
N∑
ϕ I (x) β I
I=1
Donde N es aquí el número de puntos en la grilla, es decir la expresión anterior es formal, no
estamos utilizando un único elemento en toda la grilla.
El término de la solución particular (como se explicara antes) por supuesto no aparece aquí.
Utilizando una grilla con puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos extremos). Las
ecuaciones podrían calcularse de evaluar consistentemente las expresiones 4.12 y 4.13. Sin embargo
resulta más conveniente realizar previamente una integración por partes, en este caso esta integración
por partes se restringe al término difusivo que es el que tiene la derivada de mayor orden.
El objetivo de esta integración por partes como ya hemos visto es disminuir el orden de derivación
que aparecen en las ecuaciones discretas a resolver.
{
N∑ ∑ N
β J
J=1
I=0
[ ∫
L
{
N∑ ∫ [
∑ N (
) ] }
β J W J ρu dϕI (x)
− Γ d2 ϕ I (x)
φ I − q dx + W J
J=1
L
dx dx 2 L s L
I=0
(W J ρu dϕI
dx + dW )
) J
L
] ∫
}
dx ΓdϕI dx −
(W J Γ dϕI φ I − W J qdx + WL J s L
dx
dx
0
L
= 0
(4.14)
Al integrar por partes hemos disminuido entonces el máximo orden de derivación de la variable
φ, con lo que ahora alcanza con proponer una aproximación continua para φ, esto ha sido a costa
de aumentar el orden de derivación de la función de peso (que ahora deberá ser derivable, es decir
continua) y de la aparición de términos sobre el contorno.
Para fijar ideas, supongamos la aproximación más sencilla que corresponde a una interpolación
lineal entre nudos (4.1). En un intervalo cualquiera J la variable φ y la función de peso resultan
φ (x) = (1 − ξ) φ J + ξφ J+1
w (x) = (1 − ξ) β J + ξβ J+1
= 0
80
Reemplazando en (4.14), y separando la integral sobre el segmento J tenemos
{
J∑
J∑ ∫ x
J (
) ∫ }
x
β K ϕ K ρu dϕI
x dx + dϕK
I
dx ΓdϕI dx φ I − ϕ K qdx = Int(J)
dx
J−1 x I−1
K=J−1
I=J−1