Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Donde las funciones de forma son:
N 1 (ξ) = 1 (1 − ξ)
2
N 2 (ξ) = 1 (ξ + 1)
2
y cuyas derivadas (constantes) valen
N 1
′ ξ = − 1 2
N 1
′ x = − 1 L
N 2
′ ξ = +1 2
N 2
′ x = + 1 L
La matriz B resulta (evaluada en ξ = 0)
[ 0 −
1
B =
− 1 + 1 L 2
1
0
L L
1 1
L 2
]
En tanto que la matriz de rigidez resulta del producto
⎡ ⎤
0 − 1 L [ ] [ K = L ⎢ − 1 + 1 L 2 ⎥ EI 0 0 −
1
⎣ 1
0 ⎦ 0 GA
L
c − 1 + 1 L 2
=
⎡
⎢
⎣
1
L
GA c
L
− GAc
2
− GAc
L
1
2
GA c
− EI
2 L
1
0
L L
1 1
L 2
− GA 0c
− GA c GA c
2 L
2
EI
+ GAcL GA c
− EI + GAcL
L 2 2 L 2
GA c GA c GA c
+
2
GA L
2
cL GA c EI
2 2 L
+ GA cL
2
4.7. Problemas de convección-difusión
Consideremos la siguiente ecuación diferencial (no autoadjunta)
[
d
ρuφ − Γ dφ ]
− q = 0 (4.5)
dx dx
con u la velocidad conocida, en este caso unidimensional u debe ser constante.
Las condiciones de contorno (extremos del dominio) admisibles son:
φ = ¯φ o ρuφ − Γ dφ
dx = ¯σ
es decir que en los extremos o se conoce φ o se conoce el flujo σ. Con el objetivo de ejemplificar el
tratamiento de las condiciones de contorno en un dominio de longitud L , supondremos que φ es
conocido en x = 0 y que σ es conocido en x = L.
Si subdividimos el dominio en N segmentos y proponemos entonces una aproximación para la
variable φ en el dominio en función de las variables nodales φ I (I = 0..N)
⎤
⎥
⎦
]
φ (x) =
N∑
ϕ I (x) φ I (4.6)
I=0
78
Reemplazando en la expresión 4.5, se obtiene
N∑
I=0
[
]
d
ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)
φ I − q = r(x)
dx
dx