Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

4.6.1. Matriz de rigidez de una viga recta en 2-D
Si nos restringimos al caso plano y una viga de eje recto. Usando una aproximación cuadrática
(3 nudos), con el nudo interno en el centro del elemento, la matriz de rigidez en coordenadas locales
resulta de la integral
∫
K L =
L
B T (ξ) D B (ξ) ds =
∫ 1
−1
L
2 BT (ξ) D B (ξ) dξ
∫ 1
−1
⎡
⎢
⎣
EA
2L
( )
N
1 2 EA
′ ξ
( N
1
GA c
2L
Simétrica
2L N 1
′ ξ N 2
′ ξ
2 GA c
′ ξ) N 1
2( ′ ξ N 1 GAc N 1
3L ′ ξ N 2
′ ξ
EI
2L N
1 2
′ ξ)
+
GA c L
)
EA 2
2L
GA c
(
2L N
2
EI
(N 1 ) 2 2 (
N
2
′ ξ
GA c
2 N 1
′ ξ N 2
N 1
2L ′ ξ N 2
′ ξ +
GA cL
2
N 1 N 2
2 GA c
′ ξ) N 2
2( ′ ξ N 2
EI
2L N
2
2
′ ξ)
+
GA c L
(N 2 ) 2
2
EA
2L N 1
′ ξ N 3
′ ξ
EA
2L N 2
′ ξ N 3
′ ξ
EA
2L
( )
N
3 2
′ ξ
GA c
2L
GA s
2L N 1
′ ξ N 3
′ ξ
GA c
2L N 2
′ ξ N 3
′ ξ
( )
N
3 2
′ ξ
EI
⎤
GA c
2 N 1
′ ξ N 3
EI
N 1
2L ′ ξ N 3
′ ξ +
GA c L
N 1 N 3
2 GA c
N 2
2 ′ ξ N 3
EI
2L N 2
′ ξ N 3
′ ξ +
GA cLN 2 N 3
2 ( 2L N
3 2 ⎥
′ ξ)
+ ⎦
GA cL
(N 3 ) 2 2
dξ
Notar que todos los términos a integrar son polinomios en ξ, luego se pueden integrar en forma
analítica sin problemas. Notar además el orden de los polinomios a integrar:
de 2do orden para productos de derivadas entre si
de 3er orden para producto de función y derivada
de 4to orden para productos de funciones entre sí
Recordar que si se integra numéricamente con dos puntos de integración se puede integrar
exactamente un polinomio cúbico. De lo cual surge que si se integra con dos puntos de integración
se integrará en forma exacta todos los términos salvo los asociados a productos de funciones
nodales entre sí (términos que relacionan las rotaciones entre sí, asociados al corte transversal) .
Por ejemplo la integral exacta de (N 1 ) 2 es 4
15 e integrando con dos puntos es 2 , lo que es un 20 %
9
menos que la integral exacta.
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