Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

donde s es la longitud de arco medido sobre el eje baricéntrico de la viga.
Debido a que la viga tiene ahora una curvatura inicial, debemos hablar de cambio de curvatura.
La curvatura original se mide como
κ (0)
3 = dα
ds
y la curvatura del eje deformado es
luego el cambio de curvatura resulta
κ 3 = d (α + θ 3)
ds
χ 3 = κ 3 − κ (0)
3 = d (α + θ 3)
− dα
ds ds = dθ 3
ds
En problemas tridimensionales, la teoría que gobierna el problema es similar. Por supuesto
ahora x y u tienen tres componentes. Por otro lado el sistema coordenado local se escribe ahora
Λ (s) = [t 1 , t 2 , t 3 ]
donde t 1 coincide con la tangente al eje baricéntrico, en tanto que t 2 y t 3 están dirigidos en
las direcciones principales de inercia de la sección transversal. Las deformaciones generalizadas
asociadas a los esfuerzos normal y de corte se escriben ahora
ε =
d(x + u)
· t 1
ds
γ 2 =
d(x + u)
· t 2
ds
γ 3 =
d(x + u)
· t 3
ds
Las curvaturas del eje baricéntrico resultan ahora de la siguiente expresión
⎡
⎤
K = Λ T dΛ 0 −κ 3 κ 2
ds = ⎣ κ 3 0 −κ 1
⎦
−κ 2 κ 1 0
donde los κ i serán curvaturas iniciales si Λ es la original o serán las curvaturas del eje deformado si
Λ corresponde a la estructura deformada. La diferencia entre ambas permite calcular los cambios
de curvatura, que incluye deformación de torsión (χ 1 ) y deformaciones de flexión (χ 2 y χ 3 ).
⎡
⎣ χ ⎤
1
χ 2
χ 3
⎦ =
⎡
⎢
⎣
κ 1 − κ (0)
1
κ 2 − κ (0)
2
κ 3 − κ (0)
3
⎤
⎥
⎦ = κ − κ (0)
Si mantenemos los giros en cada punto de la viga referidos al sistema local (recordando la
relación que los liga con los globales)
θ G = Λθ L
θ L = Λ T θ G
la linealización de la expresión anterior conduce a
⎡
ε = ⎣ ε ⎤
⎡
⎤
γ 2
⎦ = Λ T du
t 1 · du
ds + e ds
1 × θ L = ⎣ t 2 · du
ds − θ ⎦
3
γ 3 t 3 · du + θ ds 2
⎡
χ = ⎣ χ ⎤
⎡ ⎤ ⎡
1
χ 2
⎦ = dθ L
ds + κ(0) × θ L = ⎣ ⎦ + ⎣ κ ⎤
2θ 3 − κ 3 θ 2
κ 3 θ 1 − κ 1 θ 3
⎦
χ 3 κ 1 θ 2 − κ 2 θ 1
de donde pueden particularizarse las expresiones para la viga en el plano obtenidas antes.
dθ 1
ds
dθ 2
ds
dθ 3
ds
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