Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

4.5.7. Cambio de base
La expresión de la matriz de rigidez en coordenadas globales sigue el procedimiento general.
Referida a un sistema coordenado local la matriz de rigidez que es de 12 × 12 tiene la forma
[ ]
k11 k
K L =
12
k 21 k 22
asociada con un vector de desplazamientos en coordenada locales de forma
⎡ ⎤
u 1
⎡ ⎤
⎡
a L = ⎢ θ 1
u I
⎥
⎣ u 2 ⎦ u I L = 1
θ I ⎤
⎣ u I ⎦
2
θ I 1
= ⎣ θ I ⎦
θ 2 u I 2
3
θ I L
3
L
L
donde u I L son los desplazamientos del nudo I referidos a la terna local y θI L es el vector de
giros (donde cada componente es la proyección del vector rotación) referido a la terna local. Las
submatrices k ij son de 6 × 6 y los únicos valores no nulos son los que se indican con una X
⎡
X
k ij =
⎢
⎣
X
X
Para realizar el cambio de coordenadas resulta necesario observar (ver figura 4) que las relaciones
que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma
donde la matriz rotación R es
X
X
X
u I L = R uI
θ I L = R θI
X
X
R = [ t 1 t 2 t 3
]
La matriz de transformación Λ resulta entonces de
⎡ ⎤ ⎡
u 1 R
a e L = ⎢ θ 1
⎥
⎣ u 2 ⎦ = ⎢ R
⎣ R
θ 2
L
R
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
X
X
⎤
⎥
⎦
⎤
u 1
θ 1
u 2
θ 2
⎥
⎦ = Λ ae
las expresiones de cambio de la matriz de rigidez y el vector de términos independientes tienen la
misma forma que antes, es decir:
K = Λ T K L Λ
F = Λ T F L
4.5.8. Matriz de masa
Habitualmente se considera la masa de la viga concentrada sobre el eje baricéntrico (es decir se
desprecia la energía cinética asociada a la velocidad de rotación de la sección transversal). La matriz
de masa aparece en problemas no estacionarios (dependientes del tiempo) y resulta consistentemente
de aplicar residuos ponderados sobre la ecuación de equilibrio dinámico (o alternativamente
como expresión de la energía cinética).
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