Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

p = F (1.29)
en la que k y F no dependen de u. A su vez, las condiciones de borde se pueden expresar como
B (u) = M (u) + r = 0 en Γ (1.30)
en la M es un operador lineal adecuado y r es independiente de u. Por ejemplo, las condiciones
de borde de Dirichlet y Neumann asociadas con la ecuación (1.9) se escriben como
M (u) = u r = − _ u en Γ u
M (u) = −k ∂u
(1.31)
r = − σ _ en Γ σ
∂n
Siguiendo las ideas anteriores, se propone una solución de la forma (1.12)
u ≃ û = ψ +
M∑
a m φ m (1.32)
m=1
en la que la funciones ψ y φ m son tales que
M (ψ) = −r
M (φ m ) = 0
⎫
⎬
⎭
en Γ (1.33)
y en consecuencia û satisface las condiciones de borde de la ecuación (1.28) para todos los valores
de a m . Entonces, asumiendo que las funciones son suficientemente continuas y diferenciables en
todo Ω, podemos escribir
∂u
∂x ≃ ∂û
∂x = ∂ψ
M
∂x + ∑ ∂φ
a m
m
∂x
∂ 2 u
∂x ≃ ∂2 û
2 ∂x = ∂2 ψ
2
m=1
∂x 2 + M
∑
m=1
a m
∂ 2 m φ
∂x 2 (1.34)
y asi sucesivamente.
Las condiciones de que las funciones de prueba sean continuamente diferenciables será relajada
más adelante.
En lo que sigue, debemos asegurar que û satisfaga solamente a la ecuación diferencial (1.28) ya
que la expansión û se construyó satisfaciendo las condiciones de borde (1.30). Sustituyendo û en
la ec.(1.28) resulta el siguiente residuo
R Ω = A(û) = L (û) + p = L (ψ) +
M∑
a m L (φ m ) + p (1.35)
Este residuo puede minimizarse, utilizando el método de residuos ponderados, a fin de lograr que
R Ω ≃ 0 en todo punto de Ω
∫
∫
]
M∑
W l R Ω dΩ ≡ W l
[L (ψ) + a m L (φ m ) + p dΩ = 0 (1.36)
Ω
Ω
Evaluando la integral (1.36) para l = 1, 2...M, se obtiene un sistema de M ecuaciones algebraicas
lineales
Ka = f (1.37)
m=1
m=1
7