Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

}{{} ε =B (ξ)
} {{ } }{{} a e
4×1 4×12 12×1
En tanto que la relaciones constitutivas pueden escribirse matricialmente como
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
N EA
ε
⎢ M t
⎥
⎣ M 3
⎦ = ⎢ αGI p ⎥ ⎢ χ 1
⎥
⎣
EI 3
⎦ ⎣ χ 3
⎦
M 2 EI 2 χ 2
σ }{{}
4×1
= D }{{}
4×4
ε }{{}
4×1
Finalmente la matriz de rigidez (en el sistema local) resulta de integrar a lo largo de la viga
K }{{} L =
12×12
∫ L
0
B T
}{{}
12×4
D }{{}
4×4
}{{} B dx 1 =
4×12
∫ 1
−1
B (ξ) T
D B (ξ) L 2 dξ
Notar que como máximo en B(ξ) hay polinomios de orden 1, luego en el producto B T D B
hay como máximo polinomios de orden 2 en ξ, por lo cual bastan dos puntos de integración si se
va a realizar una integración numérica. La integral puede hacerse en este caso en forma analítica
sin ningún problema.
La matriz de rigidez (cuya obtención se deja como ejercicio) es idéntica a la obtenida en
los cursos de cálculo matricial de estructuras. Esto es así porque las funciones de interpolación
utilizadas son capaces de reproducir la solución exacta de las ecuaciones diferenciales (homogéneas).
4.5.6. Término independiente (vector de cargas)
Supongamos que las cargas están representadas localmente (es decir respecto al sistema local)
y varían en forma lineal dentro del elemento
⎡
q (ξ) = ⎣ q ⎤
1 2∑
q 2
⎦ = N I (ξ) q I
q 3 I=1
El trabajo virtual externo se puede escribir como
⎡
∫ L
∫ L
T.V.E. = δu T q (ξ) dx 1 = [δu 1 , δu 2 , δu 3 ] ⎣ q ⎤
1 (ξ)
q 2 (ξ) ⎦ dx 1
0
0
q 3 (ξ)
⎡
⎤
∫ L N 1 N 2
T
= [δa e ] T ⎣ φ 1 ϕ 1 φ 2 ϕ 2 ⎦
0
φ 1 0 −ϕ 1 φ 2 0 −ϕ 2
Donde F L
×
⎡
= [δa e ] T
} {{ }
1×12
⎣ N 1 N 2
N 1 N 2
N 1
∫ L
0
Φ T (ξ)
} {{ }
12×3
N (ξ)
} {{ }
3×6
dx 1
[ q
1
q 2 ]
} {{ }
6×1
⎡
⎤
⎦ dx 1 N 2 ⎢
⎣
q 1 1
q 1 2
q 1 3
q 2 1
q 2 2
q 2 3
⎤
⎥
⎦
= [δa e ] T F
} {{ } }{{} L
1×12
12×1
es el término independiente referido al sistema de coordenadas locales.
(4.3)
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