Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

2. θ 1 (ξ) = ∑ 2
I=1 N I (ξ) θ I 1
3. u 2 (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 2 + ϕ 1 (ξ) θ 1 3 + φ 2 (ξ) u 2 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2 3
4. u 3 (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 3 − ϕ1 (ξ) θ 1 2 + φ2 (ξ) u 2 3 − ϕ2 (ξ) θ 2 2
Donde puede verse que hemos usado para el comportamiento axial los polinomios de Lagrange
de grado 1 y para el comportamiento flexional los polinomios de Hermite de orden 1.
4.5.5. Desarrollo
Recordando que
d
= d dξ
= d 2
dx 1 dξ dx 1 dξ L
( ) −1
dξ dx1
=
= J −1
dx 1 dξ
tenemos que las deformaciones generalizadas resultan
ε = du 1
= N I 2
dx ′ ξ
1 L uI 1 = ( )
u 2 1 − u 1 1
1
L
χ 1 = dθ 1
= N I 2
dx ′ ξ
1 L θI 1 = ( θ 2 1 − ) 1
θ1 1
L
χ 3 = d2 u 2
dx 2 1
=
[ 6ξ
L
( )
= d2 u 2 dξ 2
dξ 2 = 4 [ ]
φ
1
1
dx 1 L 2 ′ ξξu 1 2 + ϕ 1′ ξξθ 1 3 + φ 2′ ξξu 2 2 + ϕ 2′ ξξθ 2 3
⎡ ⎤
−1 + 3ξ
, , − 6ξ
2
L L , 1 + 3ξ ]
u 1 2
⎢ θ 1 3 ⎥
2 L ⎣ u 2 ⎦
2
θ 2 3
χ 2 = − d2 u 3
dx 2 1
[ 6ξ
= −
L
( ) 2
= − d2 u 3 dξ
dξ 2 = − 4 [
φ
1
1
dx 1 L 2 ′ ξξ u1 3 − ϕ1′ ξξ θ1 2 + φ2′ ξξ u2 3 − ]
ϕ2′ ξξ θ2 2
⎡ ⎤
+ 3ξ
, −−1 , − 6ξ ]
u 1 3
+ 3ξ
, −1 ⎢ θ 1 2 ⎥
2
L L2 L ⎣ u 2 ⎦
3
θ 2 2
⎡
⎢
⎣
Que puede resumirse en la siguiente expresión matricial
⎤
ε
χ 1
χ 3
χ 2
⎥
⎦ = 1 L
⎡
⎢
⎣
−1 +1
−1 +1
6ξ
−1 + 3ξ − 6ξ
L L
−1 + 3ξ
− 6ξ
L
6ξ
L
+1 + 3ξ
+1 + 3ξ
⎡
⎤
⎥
⎦
⎢
⎣
u 1 1
u 1 2
u 1 3
θ 1 1
θ 1 2
θ 1 3
u 2 1
u 2 2
u 2 3
θ 2 1
θ 2 2
θ 2 3
⎤
⎥
⎦
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