Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

4. -Flexión en el plano x 1 − x 3 , Q 3 y M 2 asociado a u 3 y θ 2
4.5.3. Relaciones Cinemáticas y Constitutivas
N = EAε = EA du 1
dx 1
M t = αGI p χ 1 = αGI p
dθ 1
dx 1
M 3 = EI 3 χ 3 = EI 3
( dθ3
dx 1
)
= EI 3
( d 2 u 2
dx 2 1
M 2 = EI 2 χ 2 = EI 2
( dθ2
dx 1
)
= EI 2
(
− d2 u 3
dx 2 1
Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal (módulo de Young) y G es el módulo de
elasticidad transversal o de corte. A es el área transversal de la sección, I p , es el momento de inercia
polar de la sección y I i es el momento de inercia de la sección respecto al eje i. El coeficiente α
modifica la rigidez torsional en función de la forma de la sección.
Las variables de deformación generalizada son: ε es la deformación axial, χ 1 es el cambio de
ángulo de torsión por unidad de longitud y χ i son las curvaturas de flexión.
Notar que la denominación del momento flector y su curvatura asociada está referida al eje
normal al plano de flexión, y la convención de positivo/negativa a que coincida con la dirección
positiva del eje correspondiente.
4.5.4. Funciones de Interpolación
El análisis de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento indica que la función
solución para el caso homogéneo (sin carga de tramo) del comportamiento axial (esfuerzos axiales y
torsión) es una recta. Por lo tanto basta con considerar una aproximación lineal para u 1 y para θ 1 .
En tanto que para la flexión la correspondiente función solución (del desplazamiento transversal)
es un polinomio cúbico (sin carga de tramo), por lo que una aproximación cúbica es adecuada.
De la aproximación por residuos ponderados tras la correspondiente integración por partes
resulta que el problema es de continuidad C 0 para el problema axial y C 1 para la flexión. En
definitiva en los nudos deben ser continuos, además de los desplazamientos, θ 1 , du 2
= θ 3 y du 3
=
dx 1 dx 1
−θ 2 . Es decir que por lo menos debemos tener 6 grados de libertad por nudo (las tres componentes
de desplazamiento y las tres componentes del giro).
Denominaremos con u I i al desplazamiento del nudo I en la dirección i local, y con θ I i al giro
del nudo I alrededor del eje local i. Luego:
1. -Para los fuerzas axiales tenemos como grados de libertad u 1 1 y u 2 1 suficientes para definir la
recta solución de la ecuación homogénea
2. -Para la torsión tenemos como grados de libertad θ 1 1 y θ 2 1 suficientes para definir la recta
solución de la ecuación homogénea
3. -Para la flexión en el plano x 1 − x 2 , tenemos los grados de libertad u 1 2, θ 1 3, u 2 2 y θ 2 3 suficientes
para definir el polinomio cúbico solución de la ecuación homogénea
4. -Para la flexión en el plano x 1 − x 3 , tenemos los grados de libertad u 1 3, θ 1 2, u 2 3 y θ 2 2 suficientes
para definir el polinomio cúbico solución de la ecuación homogénea
Luego las funciones de interpolación propuestas son:
)
)
1. u 1 (ξ) = 1 2 (1 − ξ) u1 1 + 1 2 (1 + ξ) u2 1 = N 1 (ξ) u 1 1 + N 2 (ξ) u 2 1 = ∑ 2
I=1 N I (ξ) u I 1
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