Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

¯K
= ∫ L
0 BT D B d¯x 1 =
¯K =
∫ +1
−1
EA
L
B T D B L 2 dξ
⎡
1 0 −1 0
⎢ 0 0 0 0
⎣ −1 0 1 0
0 0 0 0
Recordemos entonces que esta matriz representa el trabajo virtual interno a través de la expresión
T.V.I. = (δū e ) T
Para reescribir esta expresión en términos de desplazamientos respecto al sistema global de coordenadas
debemos expresar los ū e y δū e en función de u e y δu e referidos al sistema global
¯K ū e
⎤
⎥
⎦
X 2
U 1
X 2
U 1
U 2
X 1
U 2
α
X 1
Figura 3
barra de reticulado en coordenadas globales
similarmente
ū e =
⎡
⎢
⎣
ū 1 1
ū 1 2
ū 2 1
ū 2 2
La matriz Λ tiene la forma
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
cos α sin α 0 0
− sin α cos α 0 0
0 0 cos α sin α
0 0 − sin α cos α
δū e = Λ δu e
Λ =
[ R 0
0 R
]
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
u 1 1
u 1 2
u 2 1
u 2 2
⎤
⎥
⎦ = Λ ue
donde R es en este caso particular la matriz de rotación del sistema global al local y se cumple
que Λ −1 = Λ T (en un caso general las matrices de transformación no son sencillamente matrices
de cambio de coordenadas entre dos sistemas ortogonales). Luego el T.V.I. puede escribirse
T.V.I. = (δu e ) T Λ} T {{
¯K Λ}
u e = (δu e ) T
K
K u e
notar entonces que para transformar la matriz de rigidez la expresión correcta es con Λ T y no con
Λ −1 , por ser la matriz de rigidez un tensor y no una aplicación lineal
Similarmente para el trabajo virtual externo notar que:
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T.V.E. = (δū e ) T
¯f = (δu e ) T Λ} {{ T ¯f } = (δu e ) T f
f