Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

X 2
1
X 2
X 1
1
X 2
2
X 1
2
X 2
1 2 X 1
X 2
ξ
1
X 1
2
X 1
-1 0 1
L
Figura 2
barra de reticulado en coordenadas locales
ū = N 1 (ξ) ū 1 + N 2 (ξ) ū 2
La única variable de deformación relevante en este caso es la deformación longitudinal en la
dirección del eje de la barra
ε = dū 1
d¯x 1
= N 1
′ 1 (ξ) ū 1 1 + N 2
′ 1 (ξ) ū 2 1
N I
′ 1 = dN I (ξ)
d¯x 1
Para este caso de dos funciones lineales
= dN I (ξ)
dξ
dξ
= N I 2
d¯x ′ ξ
1 L
N 1 (ξ) = 1 2
N 2 (ξ) = 1 2
(1 − ξ) N
1
′ ξ = −1 2
(1 + ξ) N
2
′ ξ = +1 2
N 1
′ 1 = − 1 L
N 2
′ 1 = + 1 L
(4.1)
Si agrupamos los desplazamientos de los nudos en un vector de incógnitas elementales
la deformación axial puede escribirse
ū e = [ ū 1 1 , ū1 2 , ū2 1 , ū2 2
ε = [ N 1
′ 1, 0, N 2
′ 1, 0 ] ū e = 1 L [−1, 0, 1, 0] ūe = B ū e
La variable de tensión asociada a esta deformación es la fuerza axial sobre la barra resultante de
integrar las tensiones normales sobre el área de la sección.
∫
S = σ 11 dA = (EA) ε = Dε
A
En forma similar, los desplazamientos virtuales conducen a una deformación virtual
δε = [ N 1
′ 1, 0, N 2
′ 1, 0 ] δū e = 1 L [−1, 0, 1, 0] δūe = B δū e
La matriz de rigidez resulta entonces del trabajo virtual interno
T.V.I. =
∫ L
0
δε S ds =
∫ L
0
] T
(B δū e ) T D B ū e ds
∫ L
= δū e B T D B ds ū e = δū e ¯K ū e
0
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