Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

pues debe satisfacer las condiciones homogéneas de contorno (θ = 0 donde β = ¯β ⇒ θ 1 = 0). La
solución particular contribuye al término independiente de la forma
[
v 1 , v 2 , θ 2] ∫ ( ) ⎡ ⎤
φ 1′
16
ξξ
⎣ φ 2′ ⎦
L L 4 ξξ (EI) ϕ 1′ ξξ dx ¯β 1
ϕ 2′ ξξ
que no es otra cosa que la segunda columna de la matriz original multiplicada por el valor conocido
¯β 1 .
Ejercicio 1: Calcular los autovalores y autovectores de la matriz K
Ejercicio 2: Calcular el término independiente debido a una carga uniforme
4.3.2. Formulación débil a partir del Principio de Trabajos Virtuales
Si bien el método de residuos ponderados se presenta como una técnica numéricas consistente
para resolver una ecuación diferencial con valores en el contorno, resulta ilustrativo y muy conveniente
asociarla con principios físicos conocidos, de tal forma de poder dar una interpretación
conceptual a distintos aspectos del método.
Recordemos rápidamente el principio de trabajos virtuales, definamos primero un sistema virtual
de desplazamientos δu. Conceptualmente un desplazamiento virtual es un incremento posible
de desplazamientos a partir de una posición dada. Posible de ocurrir significa en este caso dos
cosas
1. que satisfaga las ecuaciones de compatibilidad interna del problema, para el problema en
estudio esto significa que la derivada segunda d2 u
ds 2 exista (y sea finita).
2. que satisfaga las condiciones esenciales homogéneas del problema, es decir que tomado como
desplazamiento incremental a partir de un campo de desplazamientos que satisface las
condiciones esenciales no-homogéneas, la suma también satisfaga estas últimas.
δu = 0 donde u = ū
El principio de trabajos virtuales (desplazamientos virtuales) dice que un sistema de fuerzas
internas (momentos y esfuerzos de corte en este caso) está en equilibrio con un conjunto de acciones
externas (cargas y momentos) si para cualquier (es decir para todo) desplazamiento virtual se
satisface que el trabajo virtual de las fuerzas internas es igual al de las fuerzas externas.
Escribamos el principio de trabajos virtuales para el problema en estudio:
∫
T.V.I. =
L
( ) d 2 ∫
δu
M dx = δu q(x) dx +
dx 2 L
( ) dδu
dx
] L
¯M
0
reemplazando la ecuación constitutiva en el primer miembro, el T.V.I. resulta
∫ ( ) ( )
d 2 δu d 2 u
T.V.I. =
(EI) dx
dx 2 dx 2
L
+ δu ¯Q ] L
0 = T.V.E.
donde podemos reconocer la misma forma que la formulación débil obtenida por residuos ponderados
con la diferencia que aquí v = δu. Si ahora comparamos las condiciones que impusimos a
la función de peso v en residuos ponderados con las condiciones impuestas a los desplazamientos
virtuales δu vemos que no hay ninguna diferencia y ambos formulaciones conducen a las mismas
ecuaciones.
Notar que estamos hablando de las ecuaciones de trabajos virtuales en forma discreta, es decir
que buscamos la solución u dentro de una familia discreta de funciones (descripta por las funciones
de forma utilizadas y sus parámetros asociados) y exigimos que se satisfaga la igualdad T.V.I. =
T.V.E. para esa misma familia de funciones δu y no para cualquier función admisible.
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