Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La derivada segunda de u respecto a x dos veces (curvatura del eje medio) es
⎡ ⎤
u 1
u ′′ = d2 u d 2 ξ
dξ 2 dx = 4 [ ]
φ
1 2 L 2 ′ ξξ, ϕ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ⎢ β 1
⎥
ξξ ⎣
} {{ }
u 2 ⎦ = B (ξ) u
B(ξ)
β 2
} {{ }
u
similarmente para la función de peso
La integral
∫
v ′′ = d2 v
dξ 2 d 2 ξ
L
dx = 4 [
φ
1 2 L 2 ′ ξξ, ϕ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ξξ
} {{ }
B(ξ)
]
⎡ ⎤
v 1
⎢ θ 1
⎥
⎣ v 2 ⎦
θ 2
} {{ }
v
= B (ξ) v
d 2 v
dx EI d2 u
2 dx
∫L
dx = 2 vT B T (ξ) (EI) B (ξ) dx u = v T K u
} {{ }
K
haciendo el cambio de variable en la integral (dx = L dξ e integrando entre -1 y 1) obtenemos K
2
⎡
⎤
12 6L −12 6L
K = EI
4L 2 −6L 2L 2
L 3 ⎢ sim. 12 −6L
⎥
⎣
⎦
4L 2
4.3.1. Condiciones de Dirichlet no-homogéneas
Resulta importante notar como se tratan las condiciones de contorno esenciales no homogéneas
(desplazamiento prescriptos), sea por ej. (β 1 = ¯β 1 ). Recordemos que en el método de Galerkin las
condiciones de contorno no homogéneas se satisfacían mediante una solución particular, en este
caso la aproximación en el elemento resulta
u (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 + ϕ 1 (ξ) ¯β 1 + φ 2 (ξ) u 2 + ϕ 2 (ξ) β 2
donde ϕ 1 (ξ) ¯β 1 es ahora nuestra solución particular y el elemento queda entonces con sólo tres
parámetros independientes. La matriz de rigidez del elemento queda ahora reducida a 3 × 3 y
resulta de
[ v 1 , v 2 , θ 2] ∫ ( ) ⎡ ⎤
⎡ ⎤
φ
16
1′ ξξ
⎣ φ 2′ ⎦
L 4 ξξ (EJ) [ ]
u 1
φ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ξξ dx ⎣ u 2 ⎦
ϕ 2′ ξξ
β 2
que es equivalente a eliminar la 2 fila y la segunda columna de la matriz completa
⎡
⎤
12 −12 6L
K = EI
L 3 ⎢ sim. 12 −6L
⎥
⎣
⎦
4L 2
notar que para ello la función de peso se ha escrito ahora
62
v (ξ) = φ 1 (ξ) v 1 + φ 2 (ξ) v 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2