Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

I(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a M ) = 1 2
es decir, que se deben satisfacer las siguientes igualdades
Cumpliéndose según la ec. (1.12) que
la ec.(1.25) conduce a
∫
Ω
(u − û) 2 dΩ (1.24)
∂I
∂a l
= 0, l = 1, 2, ...M (1.25)
∫
Ω
∂û
∂a l
= φ l (1.26)
φ l (u − û) dΩ = 0 (1.27)
que en este caso resulta idéntica a la que se obtiene mediante el método de Galerkin.
1.3.2. Ejercicios:
Ejercicio N ◦ 1: Dada la función
u(x) = 0,05 − 1,5x + 4x 2 − 1,5x 3 − 0,7x 4 con 0 ≤ x ≤ 1
se desea aproximarla utilizando los siguientes conjuntos de funciones de aproximación:
a) φ m = x m (1 − x); m = 1, 2, ...
b) φ m =sin(mπx); m = 1, 2, ...
En ambos casos, la solución particular ψ(x) queda definida por la recta que une los extremos
de u(x).
Para minimizar el error utilice:
1. El método de colocación con un punto (x = 0,5) y con dos puntos (x = 0,3 y x = 0,7).
2. El método de Galerkin con uno y dos términos.
Saque conclusiones comparado los resultados obtenidos al usar las distintas aproximaciones.
Ejercicio N ◦ 2: Un problema unidimensional de calor produjo los siguientes resultados:
Distancia 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Temperatura 20 30 50 65 40 30
Ajuste una curva suave a estos datos utilizando el método de Galerkin y un conjunto admisible
de funciones de prueba.
Ejercicio N ◦ 3: Resolver el ejercicio 1 utilizando el método de colocación en subdominios. Utilizar
como funciones de peso W l dos subregiones ([0,0.5] y [0.5,1]) y como funciones de prueba las
propuestas en 1.a).
1.4. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales
1.4.1. Condiciones de borde satisfechas por elección de las funciones de prueba
Consideremos la ecuación general
A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (1.28)
en la que L es un operador diferencial lineal y p es independiente de u. Por ejemplo, en el caso
de la ecuación diferencial del calor (1.9) que representa el flujo bidimensional se tiene
L (u) = ∂ (
k ∂u )
+ ∂ (
k ∂u )
∂x ∂x ∂y ∂y
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