Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

y la ecuación
k 1 11c 0 + k 1 12u 2 = f 1 1 + σ (0) (3.57)
Se observa que el valor de u 2 puede obtenerse tanto del sistema (3.56) como de la ec.(3.57), ya que
la condición de compatibilidad (3.54), garantiza que ambos valores u 2 sean iguales.
4. Condiciones de borde mixtas: cuando el problema presenta una condición de borde esencial
en un extremo y una natural en el otro, se dice que las condiciones de borde son mixtas. Por
ejemplo:
u(0) = γ 0
β 0
,
α 0 u ,x (0) + β 0 u(0) = γ 0 ,
u ,x (L) = γ L
α L
(3.58)
β L u(L) = γ L
β L
(3.59)
son dos condiciones de borde mixtas. Su tratamiento es similar a los ya expuestos por lo que no
se entrará en mayores detalles.
3.5.3. Estimaciones del error
Supongamos que la solución exacta u del problema de contorno tenga la propiedad de que sus
derivadas de orden s al cuadrado son integrables en Ω, pero que las de orden s + 1 y superiores
no lo son (s es un entero mayor que 1). Además, supongamos que estamos utilizando funciones de
forma que contienen polinomios completos de grado ≤ k y una malla uniforme de elementos de
igual longitud h. Entonces, una aproximación del error, medido en la norma H 1 definida por la ec.
(3.21) satisface la aproximación asintótica
en donde C es una constante independiente de h y µ es
‖u − û‖ 1
≤ Ch µ (3.60)
µ = mín (k, s) (3.61)
es decir, que la velocidad de convergencia es k si k < s o s si s < k. El comportamiento respecto
de la norma media cuadrática es un orden mejor
‖u − û‖ 0
≤ C 1 h µ+1 (3.62)
con C 1 una constante.
Las estimaciones (3.60) y (3.62) indican que cuando la solución u es regular (es decir, s > k),
entonces se puede mejorar la velocidad de convergencia aumentando el orden k de los polinomios
utilizados en la aproximación. Sin embargo, para s < k, la velocidad de convergencia es independiente
de k y no hay mejora al incrementar k.
Ejercicio N ◦ 32: Considere el problema de contorno siguiente definido por la ecuación diferencial
−u (x) ,xx
+ b 0 u (x) = 10δ(x − 1) ; 0 < x < 2
con b 0 una constante, y los conjuntos de condiciones de borde:
(i) u (0) = 1, u (2) = 3
(ii) u (0) ,x
= 2, u (2) ,x
= g 0 (g 0 =constante)
(iii) u (0) ,x
+ u (0) = 1, u (2) = 1
(a) Utilizando cuatro elementos de igual longitud y funciones de base lineales evaluar numéricamente
la matriz de rigidez global y el vector de cargas para esta clase de problemas tomando
b 0 = 1 y b 0 = 0.
(b) Desarrollar la forma reducida (no singular) de las ecuaciones para los problemas (i) y (iii).
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