Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

3. Condiciones naturales de Neumann: bajo este nombre se encuentran las condiciones que
fijan el valor de la derivada en los extremos
u ,x (0) = γ 0
α 0
,
u ,x (L) = γ L
α L
(3.51)
Este tipo de condiciones puede requerir ciertas consideraciones de acuerdo al tipo de ecuaciones
que se este resolviendo. En particular, si el problema (3.14) es tal que c(x) = b(x) = 0, el problema
se reduce a la ecuación diferencial
− d [
k(x) du(x) ]
= f(x) (3.52)
dx dx
Entonces, si u es solución de la ec. (3.52) con las condiciones (3.51) entonces u + C 0 , con C 0 una
constante arbitraria, también es solución del mismo problema. Por la analogía con los sistemas
mecánicos que representa este problema, se dice que C 0 está asociado con un movimiento de
cuerpo rígido. Como consecuencia de esto, la formulación de elementos finitos correspondiente
tampoco dará lugar a una única solución, lo que significa que la matriz de rigidez K es singular.
La presencia de un movimiento de cuerpo rígido permite hacer otra consideración importante:
las constantes que definen las condiciones de borde (3.51), γ 0 , α 0 , γ L , α L , no pueden elegirse
arbitrariamente, sino que deben satisfacer una condición que se obtiene a partir de la formulación
variacional del problema (3.52) planteado. El enunciado variacional es: encontrar u ∈ H 1 tal que
∫ L
0
(k W ,x u ,x ) dx =
∫ L
0
W ¯f dx + ˆf W (¯x) − k (0) γ 0
α 0
W (0)
+ k (L) γ L
α L
W (L)
(3.53)
para toda función W ∈ H 1 . Como u = C 0 es una solución del problema (3.52), también lo será de
(3.53), para p.ej. W = 1, lo cual conduce a
L∫
0
¯f dx + ˆf − k (0) γ 0
α 0
+ k (L) γ L
α L
= 0 (3.54)
que es la condición que deben satisfacer las constantes que definen las condiciones de borde del
problema. La condición (3.54) es una condición necesaria para la existencia de la solución de
(3.53). Desde un punto de vista físico, (3.54) representa una ley de conservación global que
refleja la necesidad de que se conserve el flujo σ en todo el cuerpo Ω. Para el caso descripto por la
ec. (3.52), esta condición toma la forma (ver ec.(3.43))
N∑
F i = 0 (3.55)
i=1
Para eliminar el movimiento de cuerpo rígido se debe asignar un valor especifico a u j correspondiente
a un nudo j arbitrario. Por ejemplo, si tomamos u 1 = c 0 , se obtiene el sistema
⎡
⎡
k22 1 + ⎤ ⎡ ⎤
k2 11 k12 2 f
· 0 0 u
2 1 2
+ f 1 2 − k1 21 c ⎤
0
k21 2 k22 2 + k11 3 · 0 0
u 3
f2 2 ⎢
·
⎥ ⎢ ·
⎥
⎣ · · · · · ⎦ ⎣ · ⎦ = + f 3 1
⎢ ·
(3.56)
⎣
0 0 · k21 N−1 k22
N−1 u N f2 N−1 + k(L)γ ⎥
⎦
L
α L
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