Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

N 1 (ξ) = (ξ − ξ 2)
(ξ 1 − ξ 2 ) = 1 (1 − ξ)
2
N 2 (ξ) = (ξ − ξ 1)
(ξ 2 − ξ 1 ) = 1 2 (1 + ξ) ⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
(3.26)
Para k = 2 (funciones de forma cuadráticas), el elemento presenta tres nodos y las funciones de
forma (ver Fig. 2.c) son
N 1 (ξ) = 1 2 ξ (1 − ξ) , N 2(ξ) = ( 1 − ξ 2) , N 3 (ξ) = 1 ξ (1 + ξ) (3.27)
2
Las correspondientes funciones globales φ i se muestran en la Fig. 3.
Ejemplo: sea interpolar la función g(x) = sen (x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, utilizando dos
elementos cuadráticos como se muestra en la Fig. 4
Figura 4
Interpolación de g(x) usando 2 elementos cuadráticos.
Los nodos están ubicados en x = 0, 0,25, 0,5, 0,75 y 1. Los valores de la función en estos
puntos son 0, 0,707, 1,0, 0,707, 0, por lo que la función interpolante puede escribirse
ĝ (x) = 0,707φ 2 (x) + φ 3 (x) + 0,707φ 4 (x)
en donde las funciones φ i están graficadas en la Fig. 3.
Se puede mostrar que el error e (x) = u (x)−û (x) entre una función exacta u y la aproximación
û obtenida utilizando polinomios de Lagrange puede estimarse como
∣
h2
máx |e (x)| ≤
0≤x≤L 8 máx ∣ ∣∣
∣u (x)
0≤x≤L ,xx (3.28)
Para elementos que emplean polinomios completos de mayor orden, el error asume la forma
en la que C es independiente de h.
48
‖e‖ ∞
= máx
0≤x≤L |e (x)| ≤ Chk+1 (3.29)