Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

de tal modo que todo punto x en el intervalo x e 1 ≤ x ≤ x e k+1 se transforma en un punto ξ tal que
−1 ≤ ξ ≤ 1. Los cálculos serán realizados sobre este elemento “maestro” y denotaremos N i (ξ) a
sus funciones de interpolación. El grado de estas funciones será k, es decir que cada función N i (ξ)
del elemento contiene monomios en ξ hasta el orden ξ k , con k > 0.
Figura 2
(a) Elemento maestro con k+1 nodos;
(b) funciones de forma lineales para k=1;
(c) elemento de tres nodos con funciones cuadráticas (k=2).
2. Para obtener funciones de forma de grado k, identificamos k + 1 nodos (incluyendo los extremos)
que dividen al elemento en k segmentos iguales. Sea ξ i , i = 1, 2, ..., k + 1, la coordenada ξ
correspondiente a cada nodo. Para cada nodo ξ i formamos el producto de las k funciones lineales
(
ξ − ξj
)
, j = 1, 2, ...k + 1, j ≠ i. Notar que este producto es cero en todos los nodos excepto en el
nodo i. Estas funciones son de la forma
nodo 1: (ξ − ξ 2 ) (ξ − ξ 3 ) ... (ξ − ξ i ) ... ( ξ − ξ k+1
)
nodo 2: (ξ − ξ 1 ) (ξ − ξ 3 ) ... (ξ − ξ i ) ... ( ξ − ξ k+1
)
. .
nodo i: (ξ − ξ 1 ) (ξ − ξ 2 ) ... ( ) ( ) ( )
ξ − ξ i−1 ... ξ − ξi+1 ... ξ − ξk+1
(3.23)
3. Para cada nodo i se debe evaluar el correspondiente producto (3.23) en ξ = ξ i y dividir el
producto de las funciones por este valor. De esta manera se obtiene el polinomio N i normalizado
de tal modo que N i (ξ i ) = 1. La forma general resulta
N i (ξ) = (ξ − ξ 1) (ξ − ξ 2 ) ... ( ξ − ξ i−1
) ...
( ξ − ξi+1
) ...
( ξ − ξk+1
)
(ξ i − ξ 1 ) (ξ i − ξ 2 ) ... ( ξ i − ξ i−1
)
...
(
ξi − ξ i+1
)
...
(
ξi − ξ k+1
) (3.24)
Estas funciones tienen la propiedad que
46
{
( ) 1 si i = j
N i ξj =
0 si i ≠ j
(3.25)