Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

a)
b)
c)
− (k(x) u (x) , x ) , x +u(x), x +u (x) = 0
en
0 < x < 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3; 3 < x < 4;
con
[k (1) u ,x (1)] = [k (2) u ,x (2)] = 0; [k (3) u ,x (3)] = 10
y
⎧
⎨
k(x)
⎩
1 0 ≤ x < 1
2 1 ≤ x < 2
1 2 < x < 4
;
⎧
⎨
⎩
u (0) = 0
u (4) , x = 3
−u (x) ,xx
+ u (x) = δ (x − 1) 0 < x < 2
u (0) ,x
= 2, u (2) ,x
+ u (2) = 3
u (x) ,xx
+ u (x) = 0 0 < x < 1; 1 < x < 2
[u ,x (1)] = 1; u (0) = u (2) = 0
Ejercicio N ◦ 27: los problemas de valores de contorno siguientes están mal condicionados o no
satisfacen las hipótesis descriptas en las notas. ?‘Qué está mal en ellos?
a)
1
(x − 1) u (x) ,xx
+ u (x) = sen (x) 0 < x < 2
b)
c)
d)
y u (0) = u (2) = 0
(1 − x 2 ) u (x) ,xx
+ u (x) ,x
= 3 0 < x < 2
y u (0) = 0 ; u (2) ,x
= 1
u (x) ,xx
+ x u (x) ,x
= 3 0 < x < 1
y u (0) ,xx
= 0 ; u (1) = 0
−u (x) ,xx
+ u (x) ,x
= x 0 < x < 1
y
1
2 u (0) ,x + u (1) ,x = u (1) ; u (0) ,x + 2 u (1) ,x = u (0)
3.4. Funciones de aproximación basadas en la interpolación de
Lagrange
En esta sección extenderemos las ideas respecto a las funciones de interpolación elementales
introduciendo una técnica que conduce a lo que se conoce como elementos finitos Lagrangeanos,
nombre que deriva del conceptos de interpolación utilizando polinomios de Lagrange:
1. Consideremos un elemento típico Ω e , aislado de la malla, y establezcamos un sistema local de
coordenadas ξ, cuyo origen se ubica en el centro del elemento, escalado de tal forma de satisfacer
que ξ = −1 en el extremo izquierdo y ξ = 1 en el derecho, Fig.2.a. Esto se realiza mediante la
transformación general que para el caso de un elemento de k + 1 nodos se escribe
ξ(x) = 2 x − xe 1 − x e k+1
h e (3.22)
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