Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

u ≃ û = ψ +
M∑
a m φ m (1.12)
en la que û es la aproximación de u y a m (m = 1, 2, ...M) son algunos parámetros que deben
calcularse de modo de lograr un buen ”ajuste”. Estas funciones de prueba se conocen también
como funciones de base o de forma y deben elegirse con la condición de que a medida que
se aumenta M se garantice una mejor aproximación en (1.12). Una condición para lograr esta
convergencia es que las funciones utilizadas puedan representar cualquier variación de la función
u en el dominio Ω, lo que conduce al concepto de completitud.
1.3.1. Aproximaciones por residuos ponderados
A continuación se presenta un método general para determinar las constantes a m en las aproximaciones
de la forma (1.12). Se define el error o residuo R Ω de la aproximación (1.12) como
m=1
R Ω = u − û (1.13)
De la definición se observa que R Ω será función de la posición en Ω. Al intentar disminuir el residuo
sobre el dominio Ω, surgen expresiones integrales del error que ponderan a R Ω de distintas maneras
y cuya forma general es la siguiente
∫
Ω
∫
W l (u − û) dΩ ≡
Ω
W l R Ω dΩ = 0 l = 1, 2, ..., M (1.14)
W l es un conjunto de funciones de peso independientes. La condición general de convergencia
enunciada anteriormente, es decir, que û → u cuando M → ∞ puede ser expresada alternativamente
mediante la ec. (1.14) exigiendo que la misma se satisfaga para todo l para M → ∞. Esto
sólo será cierto si R Ω → 0 en todos los puntos del dominio como es lo deseable. Reemplazando la
ec. (1.12) en la (1.14) resulta el siguiente sistema lineal de ecuaciones
que permite determinar los parámetros a m y donde
∫
K lm =
∫
f l =
Ω
Ka = f (1.15)
a T = (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a M )
Ω
W l φ m dΩ,
1 ≤ l, m ≤ M
W l (u − ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤ M (1.16)
En la práctica pueden utilizarse distintos tipos de funciones de peso y cada una dará lugar a un
método de residuos ponderados en particular. A continuación se presentan algunas de las opciones
más comúnmente utilizadas en el contexto de sistemas unidimensionales.
1.3.1.1. Métodos de colocación
En este caso, las funciones de peso W l están dadas por
W l = δ (x − x l ) (1.17)
donde δ (x − x l ) es la función delta de Dirac definida por sus propiedades
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