Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

de funciones. Una medida universalmente aceptada como la magnitud de una función g, es un
número positivo que se conoce como norma de g y se escribe ‖g‖. Si g ≡ 0, entonces ‖g‖ = 0;
recíprocamente, si ‖g‖ = 0, entonces se interpreta que g es cero. De esto surge que para poder
estimar el error debemos elegir la norma con la que mediremos nuestra aproximación.
Las normas comúnmente utilizadas en conjunción con el MEF son tres: la norma basada en la
energía ‖e‖ E
, la norma media cuadrática ‖e‖ 0
y la norma infinita o máxima ‖e‖ ∞
.
a) La definición de la norma energética ‖e‖ E
está asociada a la forma que toma la energía
elástica del problema entre manos. Tomemos por ejemplo el problema definido en la sección anterior
mediante la (2.17) y cuya solución esta dada en la expresión (2.48). Esta solución se puede escribir
en forma compacta como
u (x) = φ u = u T φ T
en donde φ = [φ 1 , φ 2 , φ 3 ] y u = [u 1 , u 2 , u 3 ] T contienen las funciones de forma y los desplazamientos
nodales respectivamente. Mostremos que la energía de deformación aproximada es
U = 1 2
∫ 1
[
(û,x ) 2 + û 2] dx
0
= 1 2
∫ 1
[
0 u T φ Ț x φ ,xu + u T φ T φ u ] dx
= 1 { ∫ 1 [
2 uT 0 φ
T
,x φ ,x + φ T φ ] }
dx u
= 1 2 uT K u
Entonces, se define a la norma energética del error como la raíz cuadrada del doble de la energía
de deformación producida por el error
{∫ 1
‖e‖ E
=
0
[
(e,x ) 2 + e 2] } 1/2
dx
(2.50)
Esta norma es una de las formas mas naturales y significativas de cuantificar el error. Si la aproximación
adoptada muestra un buen comportamiento respecto de esta norma a medida que se refina
la malla, podemos, en general, asegurar que tenemos un método de aproximación aceptable.
b) La norma media cuadrática (L 2 o “L-dos”) mide la raíz media cuadrática del error de
una función en su dominio y se define por
(∫ 1 1/2
‖e‖ 0
= e dx) 2 (2.51)
0
c) La norma infinita o máxima mide el máximo valor absoluto de la función en su dominio
‖e‖ ∞
= max |e (x)| 0 ≤ x ≤ 1 (2.52)
2.5.1. Estimaciones asintóticas del error
En las aplicaciones del MEF es común buscar “estimaciones asintóticas” de las normas recién
definidas, es decir, estimaciones de la forma
‖e‖ ≤ Ch p (2.53)
en las que h es la longitud de los elementos utilizados para discretizar el dominio, C es una
constante que depende de los datos del problema y p es un entero que depende de las funciones de
base adoptadas en los elementos. El exponente p es una medida de la velocidad de convergencia del
método respecto a una norma en particular. Es posible que existan situaciones en las que se obtiene
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