Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Elemento Ω 4
K 4 = [ ]
Kij
4 1 =
24
⎡
⎢
⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 98
⎤
⎡
⎥
⎦ ; F4 = { }
Fi
4 1
= 96 ⎢
⎣
0
0
10
⎤
⎥
⎦
y de acuerdo a las ec. (2.30) y (2.31) resulta
⎡
196 −95 0
K = [K ij ] = K 1 + K 2 + K 3 + K 4 = 1 24 ⎢ −95 196 −95
⎣
0 −95 196
⎡ ⎤
6
F = {F i } = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 1 96 ⎢ 12
⎥
⎣ ⎦
18
que conducen, luego de resolver el sistema, a los siguientes valores nodales
⎤
⎥
⎦
u = [0,0353, 0,0569, 0,0505] T
que permite escribir la solución aproximada como
û = 0,0353 φ 1 + 0,0569 φ 2 + 0,0505 φ 3 (2.48)
Ejercicio N ◦ 24: Calcular el vector de cargas F y la matriz de rigidez K para un modelo de
elementos finitos de 4 elementos igualmente espaciados con funciones de base lineales para el
siguiente problema
−u ,xx = 1 , con 0 ≤ x ≤ 1
Graficar la solución exacta y la aproximada.
u(0) = u(1) = 0
2.5. Estimación del error en el MEF
La necesidad de estimar el error aparece en forma natural, ya que de partida estamos obteniendo
soluciones aproximadas. Además, debemos establecer la forma en que dicho error se verá
afectado a medida que el número de elementos se incremente. Se define el error, e (x), de una
aproximación como la diferencia entre el valor exacto y el aproximado
e(x) = u (x) − û (x) (2.49)
Es obvio que el verdadero error no podrá ser evaluado si no se conoce la solución exacta; sin embargo,
aun cuando u (x) sea desconocido, es posible construir estimaciones del error y determinar
si éste decrece a medida que aumenta el número de elementos. Tener información al respecto es de
gran utilidad cuando se debe elegir entre varios elementos o cuando habiendo elegido elemento, se
desea conocer la influencia que tendrá en la solución el duplicar o triplicar su número. De hecho,
un análisis del error puede mostrar la incapacidad de algún elemento para resolver el problema
entre manos.
De la definición de error se observa que éste es una función, y en consecuencia, si vamos a
hablar de la exactitud de nuestra solución, debemos ser capaces de cuantificar o medir el tamaño
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