Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

(
∂
k ∂u )
+ ∂ (
k ∂u )
+ F − ρc ∂u
∂x ∂x ∂y ∂y
∂t = 0 (1.8)
que también requiere la especificación de las condiciones iniciales y de borde. Las variables independientes
en la ec. (1.8) son x, y y t, correspondiendo las condiciones de contorno al dominio
espacial (x, y) y las condiciones iniciales al dominio temporal (t). Si el problema entre manos puede
ser considerado estacionario, (el problema es invariante con el tiempo y ∂ ( ) /∂t = 0) entonces la
ec. (1.8) queda
(
∂
k ∂u )
+ ∂ (
k ∂u )
+ F = 0 (1.9)
∂x ∂x ∂y ∂y
y las condiciones de contorno necesarias son sólo las (1.5) y (1.7). Este tipo de problemas (estacionarios)
serán el objeto de gran parte de este curso. Si el problema es unidimensional (es decir
que las condiciones no varían en una de las direcciones) la (1.9) se reduce a una ecuación diferencial
ordinaria que puede ser resuelta analíticamente, lo que nos permitirá comparar las soluciones
aproximadas con la exacta. La ecuación (1.9) que describe el flujo de calor, aparece también en
otras ramas de la física:
2. Flujo de un fluido ideal irrotacional.
Si hacemos k = 1 y F = 0 en la ec. (1.9), ésta se reduce a la ecuación de Laplace:
∂ 2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 = ∇2 u = 0 (1.10)
que gobierna la distribución del potencial durante el flujo de un fluido ideal irrotacional.
3. Flujo de un fluido a través de un medio poroso.
Si F = 0 e identificando a k con la permeabilidad del medio, la ec. (1.9) describe el comportamiento
de la presión hidrostática u.
4. Pequeñas deformaciones de una membrana bajo carga lateral.
Si k = 1 y se asume que F es la relación de la carga lateral a la tensión interna en la membrana,
entonces la ec. (1.9) describe la deflección u transversal de la membrana.
5. Torsión sin restricción de alabeo de una pieza prismática.
En este caso la ecuación que debe resolverse toma la forma
∂ 2 ϕ
∂x + ∂2 ϕ
= −2αG con ϕ = 0 en Γ (1.11)
2 ∂y2 en la que α y G representan el giro por unidad de longitud y el módulo de torsión respectivamente.
A partir de determinar los valores de la función ϕ (x, y) en Ω, es posible obtener los valores de la
tensión de corte.
Aunque el origen y derivación de estas u otras ecuaciones que se presenten posteriormente
puedan resultar un tanto oscuras al lector no familiarizado con las mismas, esperamos que los
procedimientos matemáticos de discretización utilizados para resolverlas sean lo suficientemente
claros.
1.3. Aproximación de funciones
Trataremos de mostrar que la clave de la solución de ecuaciones diferenciales utilizando métodos
numéricos está en la capacidad para desarrollar buenas funciones de aproximación.
Supongamos que queremos aproximar una función u (conocida) en una región Ω encerrada
por una curva Γ. Un primer intento de aproximación se basa en la condición de que la función
propuesta satisfaga exactamente los valores en el borde Γ. Si puede encontrarse una función ψ (que
llamaremos solución particular) tal que ψ| Γ
= u| Γ
y además se propone un conjunto de funciones
de prueba (φ m , m = 1, 2, ...M) tales que φ m | Γ
= 0 para todos los m, entonces, para todos los
puntos de Ω, puede aproximarse a u mediante la siguiente
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