Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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2.2. Aproximación mediante funciones de forma de soporte compacto En la Fig.1 se muestra la aproximación de una función arbitraria en un dominio unidimensional Ω = [0, L]. La división de Ω en E elementos (E = M − 1) se realiza eligiendo puntos x i (x i = 1, 2, ...M ) en Ω, con x 1 = 0 y x M = L y definiendo el elemento Ω e como el intervalo x e ≤ x ≤ x e+1 . En la Fig.1.a se muestra como puede aproximarse una función u utilizando el método de colocación mediante el cual se construye la aproximación û que toma valores constantes en cada elemento. La función obtenida no es continua en los puntos de conexión de los elementos (x i ; i = 2, ...M − 1). Se han elegido como puntos de colocación los puntos medios de cada elemento; estos puntos reciben el nombre de nudos o nodos. En el método de elementos finitos se numeran los elementos y los nudos. En este caso la numeración es bastante obvia numerándose como nudo j el correspondiente al elemento j. La función û puede escribirse en forma estándar como u ≃ û = ψ + que particularizada al presente caso resulta en u ≃ û = M−1 ∑ j=1 M−1 ∑ j=1 a j φ j en Ω (2.4) û j φ j en Ω (2.5) en la que se ha omitido la función ψ.; φ j representa una función de forma global discontinua definida para tomar el valor 1 sobre el elemento j y cero sobre los otros elementos; y û j es el valor que toma la función u en el nodo j. Desde un punto de vista elemental, la aproximación resulta u ≃ û = û e N e = û e en el elemento e (2.6) La aproximación û no coincidirá en los extremos del dominio (x = 0, x = L) con los valores que toma la función original u en los mismos, sin embargo, estos valores pueden aproximarse tanto como se quiera reduciendo la longitud de los elementos para x = 0 y x = L. En la Fig.1.b se ha utilizado la misma subdivisión del dominio pero se mejoró la discretización adoptando una variación lineal en cada elemento. En este caso los nudos se definen coincidentes con los extremos del elemento y se asocia una función de forma global φ i a cada nudo i con la propiedad de que φ i es no nula en los elementos conectados por este nudo, vale 1 sobre el nudo i y cero en los otros nudos. Entonces, desde un punto de vista global se puede escribir con φ j ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ u ≃ û = M∑ û j φ j en Ω (2.7) j=1 x − x j−1 h j para x j−1 ≤ x ≤ x j x j+1 − x h j+1 para x j ≤ x ≤ x j+1 0 para x ≤ x j−1 y x ≥ x j+1 (2.8) en la que û j es valor que toma u en el nodo j. En consecuencia, la aproximación (2.7) automáticamente coincide en los extremos de Ω con los valores de u y no es necesario utilizar una función ψ. Si la aproximación se considera desde el elemento entonces u ≃ û = u i N e i + u jN e j en el elemento e (2.9) en la que u i y u j son los valores de u en los nodos i y j y N e i y N e j las funciones de interpolación lineales definidas como: 22
Figura 1 Aproximación de una función mediante: a) elementos constantes y b) elementos de variación lineal N e i = he − (x − x i ) h e Nj e = x − x i (2.10) h e en la que h e = x j − x i . Las dos aproximaciones presentadas permiten aproximar la función propuesta tanto como se quiera en la medida en que se aumente el número de subdivisiones del dominio. 23
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