Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Figura 1
Problemas continuos. Conduccion del calor en 2D
Introduciendo una ley física que gobierne el flujo de calor en un medio isótropo, se puede escribir
para la componente del flujo en la dirección n
σ n = −k ∂u
(1.3)
∂n
en la que k es una propiedad conocida como conductividad. Específicamente, la ec.(1.3) en las
direcciones x e y conduce a las siguientes:
σ x = −k ∂u
∂x
σ y = −k ∂u
∂y
(1.4)
Las ecuaciones (1.2) y (1.4) definen un sistema de ecuaciones diferenciales en las incógnitas σ x , σ y
y u. Para resolver el problema deben especificarse las condiciones iniciales para el tiempo t = t o
(p.e., puede especificarse la distribución de la temperatura en todo el dominio Ω) y las condiciones
de borde en la superficie o borde Γ del dominio. Existen dos clases de condiciones de borde. Una
de ellas, aplicable al borde Γ u , especifica los valores de la temperatura _ u(x, y, t), es decir
u − _ u = 0 en Γ u (1.5)
Una condición de borde de este tipo se conoce como condición de borde de Dirichlet.
El segundo tipo de condición de borde, aplicable al resto del borde Γ σ , fija los valores del flujo
de calor en el borde en la dirección normal al mismo
o alternativamente
σ n − _ σ = 0 en Γ σ (1.6)
−k ∂u
∂n − _ σ = 0 en Γ σ (1.7)
Este tipo de condición de borde se conoce como condición de borde de Neumann.
El problema queda completamente definido por las ecuaciones (1.2, 1.4, 1.5 y 1.7). Una forma
alternativa se obtiene reemplazando la ec. (1.4) en la (1.2), con lo que resulta una única ecuación
diferencial de mayor orden y en una variable independiente
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