Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ... Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
de donde ⎡ K = ⎢ ⎣ 16 3 16 9 176 45 Sim. 16 15 16 45 176 105 16 45 976 1575 176 315 2224 4725 16 15 2192 525 16 75 16 25 5168 945 y los valores de a i obtenidos al resolver el sistema Ka = f son ⎤ ⎡ ; f = ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 64 π 3 64 π 3 320π 2 − 3072 π 5 320π 2 − 3072 π 5 [a] T = [ 0,276308, 0,339251, −0,05875, −0,09221, 0,077615 ] 64 π 3 ⎤ ⎥ ⎦ 1.4.4.1. Ejercicios Ejercicio N ◦ 17: a partir del Ejemplo 6 a) Graficar la distribución de la temperatura en la placa. b) Calcule la derivada direccional ∂û/∂n en el contorno Γ σ y verifique la condición de borde. Ejercicio N ◦ 18: la ecuación que gobierna la variación de temperatura T de un fluido viscoso fluyendo entre dos placas paralelas (y = 0 e y = 2H) está dada por d 2 T dy = µ ( ) 2 −4u2 H − y 2 H 4 k donde µ, k, y u son la viscosidad, conductividad térmica y velocidad máxima del fluido respectivamente. Si µ = 0,1, k = 0,08, H = 3,0 y u = 3,0, entonces a) Utilizando el método de Galerkin calcular la distribución de la temperatura cuando una placa se mantiene a una temperatura T = 0, mientras en la otra no hay flujo de calor (es decir, dT/dy = 0) b) Comparar con la solución exacta del problema. Ejercicio N ◦ 19: Sea el problema de flujo de calor unidimensional de una barra de longitud 10 cm y diámetro 1 cm., uno de cuyos extremos se mantiene a 50 ◦ C mientras en el otro se introduce calor en la relación de 200W/cm 2 . Si k = 75W/cm ◦ C y si se genera calor en la proporción de 150T W/cm 2 por unidad de longitud, donde T es la temperatura, a) Utilizando el método de Galerkin, calcule la distribución de temperaturas en la barra. b) Compare con la solución exacta y muestre la convergencia de la solución a medida que se aumenta el número de términos en la aproximación. Ejercicio N ◦ 20: resolver el Ejercicio N ◦ 8 utilizando Galerkin con una formulación débil y una aproximación que no satisfaga automáticamente las condiciones de borde naturales. Adoptar como condición de borde la de una viga simplemente apoyada, es decir, u = d 2 u/dx 2 = 0 en ambos extremos. Ejercicio N ◦ 21: una barra larga de sección rectangular, con una conductividad térmica de k = 1,5W/m ◦ C está sujeta a las condiciones de borde que se muestran en la figura Fig. 1.2: dos lados opuestos se mantienen a temperatura uniforme de 180 ◦ C, un lado está aislado y el restante posee una condición de convección con T ∞ = 25 ◦ C y p = 50W/m 2 ◦ C. Determinar la distribución de temperatura de la barra. Nota: en un modelo por E.F., la temperatura en los nodos 1, 2, y 3 fueron de 124,5, 34,0, y 45,4 ◦ C respectivamente. 18
Figura 2 Ejercicio 21. a) Problema b) Discretizacion por E.F. Ejercicio N ◦ 22: resolver la ecuación del calor en una región cuadrada −1 ≤ x, y ≤ 1 si los lados y = ±1 se mantienen a 100 ◦ C mientras los lados x = ±1 están sujetos a la condición ∂u/∂n = −1 − u. Ejercicio N ◦ 23: mostrar que en el problema del Ejercicio N ◦ 10 la condición de borde ∂ 2 u/∂n 2 = 0 en Γ es una condición de borde natural. Resolver el problema y comparar con la respuesta obtenida en el Ej. N ◦ 10. Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = 0 Ecuación característica a m 2 + b m + c = 0 Raíces de le ecuación característica Discriminante Solución Completa Reales y distintas m 1 ≠ m 2 b 2 − 4ac > 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x Reales e iguales m 1 = m 2 b 2 − 4ac = 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x Compl. Conjug. m 1−2 = p + i q b 2 − 4ac < 0 y = e px (A cos qx + B sin qx) Cuadro 1.1 Solución para la ecuación homogénea Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = f(x) f(x) forma de la integral particular 1. α A 2. αx n A 0 x n + A 1 x n−1 + ... + A n−1 x 1 + A n (n entero positivo) 3. αe rx A e rx (r real o complejo) 4. α cos(kx) A cos(kx) + B sin(kx) 5. α sin(kx) 6. α x n e rx cos(kx) (A 0 x n + ... + A n−1 x 1 + A n ) e rx cos(kx)+ 7. α x n e rx sin(kx) (B 0 x n + ... + B n−1 x 1 + B n ) e rx sin(kx) Cuadro 1.2 Solución para la ecuación no homogénea 19
- Page 1 and 2: Capítulo 1 Métodos de residuos po
- Page 3 and 4: ( ∂ k ∂u ) + ∂ ( k ∂u ) + F
- Page 5 and 6: δ (x − x l ) = 0 para x ≠ x l
- Page 7 and 8: p = F (1.29) en la que k y F no dep
- Page 9 and 10: La solución de los sistemas conduc
- Page 11 and 12: Una viga de longitud 1 está simple
- Page 13 and 14: Notar que K es no simétrica aun cu
- Page 15 and 16: integrando por partes el primer té
- Page 17: La sustitución de la aproximación
- Page 21 and 22: Capítulo 2 El método de elementos
- Page 23 and 24: Figura 1 Aproximación de una funci
- Page 25 and 26: Figura 2 Comportamiento de tres fun
- Page 27 and 28: 2.4.1. Propiedades de la matriz K y
- Page 29 and 30: Figura 5 Descripción local y globa
- Page 31 and 32: 2.4.3.2. Cálculo del vector de car
- Page 33 and 34: de funciones. Una medida universalm
- Page 35: Figura 6 Curvas del error utilizand
- Page 38 and 39: eferiremos como ” ley de conserva
- Page 40 and 41: ambos miembros haciendo tender el p
- Page 42 and 43: 1. Condiciones de borde esenciales,
- Page 44 and 45: 2. Las condiciones de borde no pued
- Page 46 and 47: de tal modo que todo punto x en el
- Page 48 and 49: N 1 (ξ) = (ξ − ξ 2) (ξ 1 −
- Page 50 and 51: modo de ubicar un nodo en todo punt
- Page 52 and 53: Figura 5 Malla de N nudos y N-1 ele
- Page 54 and 55: 3. Condiciones naturales de Neumann
- Page 56 and 57: (c) Considere las condiciones (ii)
- Page 58 and 59: los polinomios de interpolación in
- Page 60 and 61: La derivada segunda de u respecto a
- Page 62 and 63: 4.3.3. Formulación a partir del Pr
- Page 64 and 65: ¯K = ∫ L 0 BT D B d¯x 1 = ¯K =
- Page 66 and 67: Las cargas normales al eje de la vi
Figura 2<br />
Ejercicio 21. a) Problema b) Discretizacion por E.F.<br />
Ejercicio N ◦ 22: resolver la ecuación <strong>de</strong>l calor en una región cuadrada −1 ≤ x, y ≤ 1 si los<br />
lados y = ±1 se mantienen a 100 ◦ C mientras los lados x = ±1 están sujetos a la condición<br />
∂u/∂n = −1 − u.<br />
Ejercicio N ◦ 23: mostrar que en el problema <strong>de</strong>l Ejercicio N ◦ 10 la condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> ∂ 2 u/∂n 2 =<br />
0 en Γ es una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> natural. Resolver el problema y comparar con la respuesta<br />
obtenida en el Ej. N ◦ 10.<br />
Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = 0<br />
Ecuación característica a m 2 + b m + c = 0<br />
Raíces <strong>de</strong> le ecuación característica Discriminante Solución Completa<br />
Reales y distintas m 1 ≠ m 2 b 2 − 4ac > 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x<br />
Reales e iguales m 1 = m 2 b 2 − 4ac = 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x<br />
Compl. Conjug. m 1−2 = p + i q b 2 − 4ac < 0 y = e px (A cos qx + B sin qx)<br />
Cuadro 1.1<br />
Solución para la ecuación homogénea<br />
Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = f(x)<br />
f(x) forma <strong>de</strong> la integral particular<br />
1. α A<br />
2. αx n A 0 x n + A 1 x n−1 + ... + A n−1 x 1 + A n<br />
(n entero positivo)<br />
3. αe rx A e rx<br />
(r real o complejo)<br />
4. α cos(kx) A cos(kx) + B sin(kx)<br />
5. α sin(kx)<br />
6. α x n e rx cos(kx) (A 0 x n + ... + A n−1 x 1 + A n ) e rx cos(kx)+<br />
7. α x n e rx sin(kx) (B 0 x n + ... + B n−1 x 1 + B n ) e rx sin(kx)<br />
Cuadro 1.2<br />
Solución para la ecuación no homogénea<br />
19
Change language