Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
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Se propone una aproximación de la forma u ≃ û = ψ + M∑ a m φ m (1.54) en la que se han elegido a las funciones ψ y φ m para que se satisfagan las condiciones de borde esenciales, es decir, ψ = u _ y φ m = 0, (m = 1, 2...M) en Γ u . El problema de residuos ponderados correspondiente resulta ∫ Ω W l [ ( ∂ k ∂û ) ∂x ∂x + ∂ ( ∂y k ∂û ∂y m=1 )] _dx dy + ∫ Ω W l F dx dy+ + ∫ ( __ Γ σ W l k ∂û ) ∂n + σ _ dΓ + ∫ ( Γ c ˜W l k ∂û ) ∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0 l = 1, 2...M (1.55) que para M → ∞ asegura la satisfacción de la ecuación diferencial en Ω y de las condiciones de borde naturales. La primer integral en la ec.(1.55) puede ser ”debilizada” utilizando el lema de Green que establece las siguientes identidades para las funciones α y β ∫ α ∂β Ω ∂x ∫Ω dx dy = − ∂α ∂x ∫Γ β dx dy + α β n x dΓ (1.56) ∫ Ω α ∂β ∂y ∫Ω dx dy = − ∂α ∂y ∫Γ β dx dy + α β n y dΓ (1.57) en la que n x y n y son los cosenos directores de la normal n (saliente) al contorno cerrado Γ que rodea al dominio Ω en el plano x y. La integración sobre Γ se realiza en sentido antihorario. Utilizando estas identidades y notando que ∂α ∂n = ∂α ∂x n x + ∂α ∂y n y (1.58) la ec. (1.55) puede reescribirse ∫ ( ∂Wl − Ω ∂x k ∂û ∂x + ∂W l ∂y k ∂û ) ∫ _dx dy + W l F dx dy+ ∂y Ω ( + W l k ∫Γ ∂û ) ( __ dΓ + W l k σ +Γ u +Γ c ∂n ∫Γ ∂û ) σ ∂n + σ _ dΓ+ ( + ˜W l k ∫Γ ∂û ) c ∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0 (1.59) Limitando ahora la elección de las funciones de peso de tal modo que W l = 0 en Γ u ; __ W l = −W l en Γ σ ; y ˜W l = −W l en Γ c (1.60) se observa que el término que contiene al gradiente de û desaparece y la ec.(1.59) queda ∫ ( ∂Wl ∂x k ∂û ∂x + ∂W l ∂y k ∂û ) ∫ dx dy − W l F dx dy+ ∂y 16 Ω Ω ∫ _ + W l σdΓ + W l p (u − u ∞ ) dΓ = 0 (1.61) ∫Γ σ Γ c
La sustitución de la aproximación (1.54) en la ec. (1.61) conduce al ya conocido sistema en el que ∫ K lm = ∫ + Ω Ka = f (1.62) ( ∂Wl ∂x k ∂φ m ∂x + ∂W l ∂y k ∂φ ) m ∂y dx dy+ W l p φ m dΓ ; l, m = 1, 2, ...M Γ c ∫ ∫ ( ∂Wl f l = W l F dx dy − Ω Ω ∂x k ∂ψ ∂x + ∂W l ∂y k ∂ψ ) dx dy− ∂y ∫ _ − W l σdΓ − W l p (ψ − u ∞ ) dΓ ; l = 1, 2, ...M (1.63) ∫Γ σ Γ c Es posible elegir como funciones las correspondientes a Galerkin W l = φ l ya que las condiciones (1.60) impuestas a las funciones de peso de anularse sobre Γ u ya son satisfechas por las φ l utilizadas en la expansión (1.54). Se observa que esta alternativa produce una matriz K que resulta simétrica ya que K lm = K ml (1.64) En conclusión, se ha mostrado cómo la condición de borde (1.52) es una condición natural para este problema ya que la formulación débil pudo eliminar la necesidad de evaluar la derivada en el contorno. Por otro lado si σ _ = 0, entonces esta condición no aparece en forma explícita en la formulación. Ejemplo N ◦ 6: un material de conductividad k = 1 ocupa una región cuadrada definida en −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Los lados y = ±1 se mantienen a temperatura de 0 ◦ , mientras se suministra calor en la relación cos(πy/2) por unidad de longitud en los lados x = ±1. Se pide resolver la ecuación de calor estacionario sujeta a las condiciones de borde ∂ ∂x ( k ∂u ∂x ) + ∂ ( ∂y k ∂u ∂y ) + F = 0 u = 0 ( en Γ u definido por y = ±1 πy ) ¯σ = − cos en Γ σ definido por x = ±1 2 Si adoptamos como funciones para aproximar la temperatura a φ 1 = 1 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1 φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 ; ψ = 0 con lo cual û = Σa m φ m satisface las condiciones de borde esenciales. Si adoptamos a W l = φ l , entonces W l también satisface la condición necesaria para utilizar la formulación anterior. Las componentes de la matriz K y el vector f resultan K lm = ∫ 1 ∫ 1 −1 −1 ( ∂φl ∂φ m ∂x ∂x + ∂φ l ∂y ) ∂φ m ∂y dx dy ; l, m = 1, 2, ..,5 ∫ 1 ( πy ) f l = 2 φ l | x=1 cos −1 2 dy ; l = 1, 2, ..,5 17
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La sustitución <strong>de</strong> la aproximación (1.54) en la ec. (1.61) conduce al ya conocido sistema<br />
en el que<br />
∫<br />
K lm =<br />
∫<br />
+<br />
Ω<br />
Ka = f (1.62)<br />
( ∂Wl<br />
∂x k ∂φ m<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂φ )<br />
m<br />
∂y<br />
dx dy+<br />
W l p φ m dΓ ; l, m = 1, 2, ...M<br />
Γ c<br />
∫<br />
∫ ( ∂Wl<br />
f l = W l F dx dy −<br />
Ω<br />
Ω ∂x k ∂ψ<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂ψ )<br />
dx dy−<br />
∂y<br />
∫<br />
_<br />
− W l σdΓ − W l p (ψ − u ∞ ) dΓ ; l = 1, 2, ...M (1.63)<br />
∫Γ σ Γ c<br />
Es posible elegir como funciones las correspondientes a Galerkin W l = φ l ya que las condiciones<br />
(1.60) impuestas a las funciones <strong>de</strong> peso <strong>de</strong> anularse sobre Γ u ya son satisfechas por las φ l utilizadas<br />
en la expansión (1.54). Se observa que esta alternativa produce una matriz K que resulta simétrica<br />
ya que<br />
K lm = K ml (1.64)<br />
En conclusión, se ha mostrado cómo la condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (1.52) es una condición natural para<br />
este problema ya que la formulación débil pudo eliminar la necesidad <strong>de</strong> evaluar la <strong>de</strong>rivada en<br />
el contorno. Por otro lado si σ _ = 0, entonces esta condición no aparece en forma explícita en la<br />
formulación.<br />
Ejemplo N ◦ 6: un material <strong>de</strong> conductividad k = 1 ocupa una región cuadrada <strong>de</strong>finida en<br />
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Los lados y = ±1 se mantienen a temperatura <strong>de</strong> 0 ◦ , mientras se<br />
suministra calor en la relación cos(πy/2) por unidad <strong>de</strong> longitud en los lados x = ±1. Se pi<strong>de</strong><br />
resolver la ecuación <strong>de</strong> calor estacionario<br />
sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
∂<br />
∂x<br />
(<br />
k ∂u<br />
∂x<br />
)<br />
+ ∂ (<br />
∂y<br />
k ∂u<br />
∂y<br />
)<br />
+ F = 0<br />
u = 0 ( en Γ u <strong>de</strong>finido por y = ±1<br />
πy<br />
)<br />
¯σ = − cos en Γ σ <strong>de</strong>finido por x = ±1<br />
2<br />
Si adoptamos como funciones para aproximar la temperatura a<br />
φ 1 = 1 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1<br />
φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 ; ψ = 0<br />
con lo cual û = Σa m φ m satisface las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales. Si adoptamos a W l = φ l ,<br />
entonces W l también satisface la condición necesaria para utilizar la formulación anterior. Las<br />
componentes <strong>de</strong> la matriz K y el vector f resultan<br />
K lm =<br />
∫ 1<br />
∫ 1<br />
−1<br />
−1<br />
( ∂φl ∂φ m<br />
∂x ∂x + ∂φ l<br />
∂y<br />
)<br />
∂φ m<br />
∂y<br />
dx dy ; l, m = 1, 2, ..,5<br />
∫ 1 ( πy<br />
)<br />
f l = 2 φ l | x=1<br />
cos<br />
−1<br />
2<br />
dy ; l = 1, 2, ..,5<br />
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