Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Parte Difusiva
⎡
1
⎣
2A
s 2 2 − s 3 2 s 3 1 − s 2 1
s 3 2 − s 1 2 s 1 1 − s 3 1
s 1 2 − s 2 2 s 2 1 − s 1 1
Parte Convectiva: Definiendo
⎤
[ ] [ ]
⎦ Γ11 Γ 21 −b
1
−b 2 −b 3 φ 1
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2
v 1I = ( s 3 2 − s2 2)
u
I
1 + ( s 2 1 − s3 1)
u
I
2
v 2I = ( s 1 2 − s 3 2)
u
I
1 + ( s 3 1 − s 1 1)
u
I
2
v 3I = ( s 2 2 − s 1 2)
u
I
1 + ( s 1 1 − s 2 1)
u
I
2
φ 3 (9.2)
donde los supraíndices en v IJ están asociados a I: interfaz, J: nudo. Tendremos
⎧
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎫
[
v
11
v
ρ
⎪⎨
12 v ] 4 7 7
13 ⎣ 7 19 19 ⎦ + [ v 21 v 22 v ] 19 7 19
23 ⎣ 7 4 7 ⎦ + ⎡
⎪⎬
7 19 19
⎡ ⎤
19 7 19
⎣
108
[ v
31
v ⎪⎩
32 v ] 19 19 7
33 ⎣ 19 19 7 ⎦
⎪⎭
7 7 4
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
En la parte difusiva es posible incluir una “difusión de balance” Γ b para mejorar el comportamiento
numérico. Esta puede calcularse de la siguiente forma
Γ b = β [n ⊗ n]
donde
n = u
|u|
α = 1 |u|h
2 Γ
= Pe
β = coth (α) − 1 α
Como u es variable punto a punto, Γ b también lo será. Sin embargo utilizaremos un valor único
en cada elemento. Razonablemente el valor a utilizar será el del centro del elemento
ū = 1 (
u 1 + u 2 + u 3)
3
|ū| = [ ū 2 1 + ū2 2
¯n = ū
|ū|
El valor de h (dimensión del elemento en la dirección ¯n puede aproximarse por
] 1
2
Finalmente notar que
h = 1 2
3∑
|l I · ¯n|
I=1
s 3 − s 2 = − 1 3 x3 + 1 6 x1 + 1 6 x2 + 1 3 x2 − 1 6 x1 − 1 6 x3 = 1 (
x 2 − x 3) = − l1
2
2 = −1 (
b 1 , a 1)
2
s 1 − s 3 = − l2 2 = −1 ( b 2 , a 2)
2
s 2 − s 1 = − l3 2 = −1 ( b 3 , a 3)
2
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