Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La integral del primer término es más laboriosa pero sencilla. Puede escribirse como
⎡
⎤
] ∫ 1 ξ 2 (1−ξ)ξ (1−ξ)ξ ⎡
3
2 2
Observando que
ρ ( s 1 2, −s 1 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1
u 1 2 u 2 2 u 3 2
∫ 1
3
0
∫ 1
3
0
∫ 1
3
0
(1 − ξ) ξ
2
(1 − ξ) 2
4
0
ξ 2 dξ =
dξ =
dξ =
⎢
⎣
(1−ξ)ξ
2
(1−ξ)ξ
2
La integral del primer término puede escribirse ahora
∫ 0
1
3
] 1 3
(1−ξ) 2
4
(1−ξ) 2
4
(1−ξ) 2
4
(1−ξ) 2
4
[ ξ
3
= 1 3
0
81
[ ξ
2
] 1
4 − ξ3 3
= 7
6
0
324
] [ξ 1 − ξ 2 + ξ3 3
= 19
3 324
[
ρ 1 φ (1 u · n 1)] 3|s 1 | dξ = ρ ( ) [
s 1 2, −s 1 u 1 1 u 2 1 u 3 1
1
u 1 2 u 2 2 u 3 2
En forma similar, a lo largo de la interfaz 2 es posible definir
2 φ (ξ) = ξφ 1 + (1 − 2ξ) φ 2 + ξφ 3
2 u (ξ) = ξu 1 + (1 − 2ξ) u 2 + ξu 3
La forma de la parte difusiva es similar al caso anterior
∫ 1
2
1
3
0
⎥
⎦ dξ
⎣
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
⎡
] 1
⎣ 4 7 7
7 19 19
108
7 19 19
−n 2 · Γ ∇φ 6|s 2 | dξ = 1 (
−s
2
2A 2 , s1) [ ] [ ] ⎡
2 Γ 11 Γ 21 −b
1
−b 2 −b 3
⎣
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3
⎤ ⎡
⎦ ⎣
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
que contribuye al nudo 3 y al nudo 1 (cambiada de signo). En tanto que la parte convectiva resulta
de
ρ ( s 2 2 , 1) [ ⎡
⎡
] ∫
u 1
−s2 1 u 2 1 u 3 1
2
1
u 1 2 u 2 2 u 3 6 ⎣
⎣
2
1
3
Realizando las integrales tenemos
ρ ( s 2 2, −s 2 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1
u 1 2 u 2 2 u 3 2
ξ 2 ξ − 2ξ 2 ξ 2 ⎤
ξ − 2ξ 2 (1 − 2ξ) 2 ξ − 2ξ 2 ⎦ dξ
⎡
] 1
⎣
108
19 7 19
7 4 7
19 7 19
⎤
⎡
⎦ dξ ⎣
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
Finalmente en la interfaz 3 las partes difusiva y convectiva resultan respectivamente
1 (
−s
3
2A 2 , s1) [ ] [ ] 3 Γ 11 Γ 21 −b
1
−b 2 −b 3 φ 1
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2
ρ ( s 3 2 , −s3 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1
u 1 2 u 2 2 u 3 2
⎡
] 1
⎣
108
19 19 7
19 19 7
7 7 4
⎤ ⎡
⎦ ⎣
φ 3
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
De esta forma, agrupando los resultados obtenidos para cada interfaz, las contribuciones resultan:
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