Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Interfaz 1 ξ en [ 1, 0] η en [ 1, 1] η = 1 (1 − ξ)
3 3 2 2
Interfaz 2 ξ en [ 1, 1] η en [ 1 , 0] η = 1 − 2ξ
3 2 3
Interfaz 3 ξ en [ 1, 1] η en [ 1, 1] η = ξ
3 2 3 2
Tenemos entonces definidas las interfaces.
La ecuación de balance en cada volumen finito o celda es:
∫
[ρφu − Γ ∇φ] · ν dS = 0
S
u y φ hemos visto que varían en forma lineal, en tanto que ∇φ es constante para cada elemento
(pero tiene valores distintos dentro de la celda)
∇φ =
Consideremos la interfaz 1
∫
[
φ′
1
φ′ 2
s 1 [ρφu − Γ ∇φ] · n 1 dS =
]
= 1 [ ] ⎡ −b
1
−b 2 −b 3
⎣
2A a 1 a 2 a 3
∫ 0
1
3
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
[
ρ 1 φ (1 u · n 1) − n 1 · Γ ∇φ ] 3|s 1 | dξ
donde hemos realizado el cambio de variable de integración y hemos introducido las definiciones
1 φ (ξ) = ξφ 1 + 1 2 (1 − ξ) φ2 +
[1 − ξ − 1 ]
2 (1 − ξ) φ 3
= ξφ 1 + 1 2 (1 − ξ) φ2 + 1 (1 − ξ) φ3
2
1 u (ξ) = ξu 1 + 1 2 (1 − ξ) u2 + 1 (1 − ξ) u3
2
correspondientes a los valores de φ y u a lo largo de la interfaz 1 (por ello el supraíndice izquierdo
asociado)
El primer término de la integral puede expresarse
ρ 1 φ (1 u · n 1) = ρ ( n 1 1, n 1 2) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1
u 1 2 u 2 2 u 3 2
En tanto que el segundo término es
] ⎡ ⎣
ξ
(1−ξ)
2
(1−ξ)
2
⎤
⎦ [ ξ
(1−ξ)
2
−n 1 · Γ ∇φ = − ( n 1 1 , ) [ ] [ ] ⎡ Γ 11 Γ 21 −b
1
−b 2 −b 3
n1 ⎣
2
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3
(1−ξ)
2
] ⎡ ⎣
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
En esta última integral todo es constante luego la integral vale sencillamente
∫ 0
1
3
−n 1 · Γ ∇φ 3|s 1 | dξ = |s1 | ( n
1
2A 1 , n2) [ ] [ ] 1 Γ 11 Γ 21 −b
1
−b 2 −b 3 φ 1
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
Que contribuye al balance del nudo 2 con el signo que está y al balance del nudo 3 cambiándole el
signo. Recordar además la relación entre las componentes del vector normal y la interfaz (ecuación
9.1).
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φ 3