Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

More documents

Recommendations

Info

A continuación veremos como expresar estas deformaciones respecto al sistema coordenado físico, observemos que la definición de las deformaciones respecto al sistema natural son: [ ] [ ∂w γξ = − θ ] ∂ξ ξ ∂w γ η ∂η − θ = ∇ (ξ,η) w − θ ′ = γ ′ η con el cambio local de coordenadas [ ] θξ = θ η [ ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂y ∂ξ ∂y ∂η ] [ ] θx = Jθ = θ ′ θ y en tanto que las deformaciones respecto al sistema cartesiano resultan: [ γx ] = γ y [ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂η ∂x ∂η ∂y ] [ γξ γ η ] = J −1 [ γξ γ η ] = J −1 [ ∇ (ξ,η) w − θ ′] = J −1 ∇ (ξ,η) w − θ (8.2) Las deformaciones en el sistema natural en los puntos de muestreo (A,B,C y D) son ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ γ A η w′ ⎢ γ B η (ξ = −1, η = 0) − θ η (ξ = −1, η = 0) ξ ⎥ ⎣ γ C ⎦ = ⎢ w′ ξ (ξ = 0, η = −1) − θ ξ (ξ = 0, η = −1) ⎥ ⎣ η w′ η (ξ = 1, η = 0) − θ η (ξ = 1, η = 0) ⎦ (8.3) γ D ξ w′ ξ (ξ = 0, η = 1) − θ ξ (ξ = 0, η = 1) Evaluando en los puntos de muestreo resultan ⎡ ⎢ ⎣ γ A η γ B ξ γ C η γ D ξ ⎤ ⎥ ⎦ = 1 4 ⎡ ⎢ ⎣ −1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 0 0 0 −1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 0 0 0 −1 x 3 − x 2 y 3 − y 2 0 0 0 0 0 0 ⎤ 1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ 0 0 0 1 x 3 − x 2 y 3 − y 2 ⎦ 1 x 3 − x 4 y 3 − y 4 −1 x 3 − x 4 y 3 − y 4 ⎢ ⎣ ˆγ = ˆBu e (8.4) ⎡ w 1 θ 1 x θ 1 y w 2 θ 2 x θ 2 y w 3 θ 3 x θ 3 y w 4 θ 4 x θ 4 y ⎤ ⎥ ⎦ de esta forma, hasta ahora, hemos escrito las deformaciones (naturales) en los puntos de muestreo en función de las coordenadas nodales y los desplazamientos nodales. Las deformaciones de corte transversales respecto al sistema cartesiano resultan de reemplazar las 8.4 en las 8.1 y estas en las 8.2 γ (ξ, η) = J −1 P (ξ, η) ˆBu e = ¯B s (ξ, η) u e (8.5) 145
donde se ha introducido la matriz B substituta o ¯B (B-barra) ¯B s (ξ, η) = J −1 P (ξ, η) ˆB Los esfuerzos transversales de corte valen [ ] [ Qx 1 0 Q = = Ghκ Q y 0 1 Finalmente la energía interna de deformación resulta W s = 1 ∫ u T 2 ¯B e T s D s ¯Bu e dA A = 1 ∫ [ 2 uT ˆB Ghκ 0 e T P T (ξ, η) J −T 0 Ghκ A = 1 2 uT e K s u e ] [ ] γx = D γ s ¯B s u e y ] J −1 P (ξ, η) dA ˆBu e donde K s es la contribución del corte transversal a la matriz de rigidez, que se calcula usando integración numérica estándar como: ∫ [ ] Ghκ 0 K s = ˆB T P T (ξ, η) J −T J 0 Ghκ −1 P (ξ, η) dA ˆB A o si se escribe en función de la matriz substituta ¯B s directamente ∫ [ ] Ghκ 0 K s = ¯B T s (ξ, η) ¯B 0 Ghκ s (ξ, η) dA A 8.4. Elementos de lámina El desarrollo de elementos de lámina presenta, por lo menos, los mismos problemas que el desarrollo de elementos de placa. Lo interesante es que habitualmente las soluciones son las mismas, por lo que en general lo que hay que solucionar son nuevos problemas si los hubiere. Una forma de generar elementos de lámina es precisamente tomar un buen elemento de placa y agregarle la contribución membranal. Esto es inmediato en elementos triangulares de 3 nodos, que son planos. Básicamente existen tres aproximaciones para el desarrollo de elementos de láminas, dos asociados a las teorías vistas para placas planas y una tercera asociada a la imposición de restricciones cinemáticas en elementos de sólido. Tenemos entonces Elementos basados en la teoría de láminas clásica (Love-Kirchhoff) Elementos que incluyen deformaciones transversales de corte (Reissner-Mindlin) Elementos de sólido degenerado, que resultan muy similares a los basados en la teoría de Reissner-Mindlin Algunos características distintivas de los teorías de láminas respecto a las de placas planas es que: 146 1. Requieren la definición de un sistema coordenado curvilíneo. Habitualmente este sistema coordenado se particulariza en un sistema cartesiano local (dos ejes sobre el plano tangente a la lámina y el tercero normal a la lámina) en los puntos de integración. Esto debe interpretarse cómo que el sistema coordenado no queda definido en forma explícita en todo el elemento sino sólo en los puntos de integración.
Page 1 and 2:
Capítulo 1 Métodos de residuos po
Page 3 and 4:
( ∂ k ∂u ) + ∂ ( k ∂u ) + F
Page 5 and 6:
δ (x − x l ) = 0 para x ≠ x l
Page 7 and 8:
p = F (1.29) en la que k y F no dep
Page 9 and 10:
La solución de los sistemas conduc
Page 11 and 12:
Una viga de longitud 1 está simple
Page 13 and 14:
Notar que K es no simétrica aun cu
Page 15 and 16:
integrando por partes el primer té
Page 17 and 18:
La sustitución de la aproximación
Page 19 and 20:
Figura 2 Ejercicio 21. a) Problema
Page 21 and 22:
Capítulo 2 El método de elementos
Page 23 and 24:
Figura 1 Aproximación de una funci
Page 25 and 26:
Figura 2 Comportamiento de tres fun
Page 27 and 28:
2.4.1. Propiedades de la matriz K y
Page 29 and 30:
Figura 5 Descripción local y globa
Page 31 and 32:
2.4.3.2. Cálculo del vector de car
Page 33 and 34:
de funciones. Una medida universalm
Page 35:
Figura 6 Curvas del error utilizand
Page 38 and 39:
eferiremos como ” ley de conserva
Page 40 and 41:
ambos miembros haciendo tender el p
Page 42 and 43:
1. Condiciones de borde esenciales,
Page 44 and 45:
2. Las condiciones de borde no pued
Page 46 and 47:
de tal modo que todo punto x en el
Page 48 and 49:
N 1 (ξ) = (ξ − ξ 2) (ξ 1 −
Page 50 and 51:
modo de ubicar un nodo en todo punt
Page 52 and 53:
Figura 5 Malla de N nudos y N-1 ele
Page 54 and 55:
3. Condiciones naturales de Neumann
Page 56 and 57:
(c) Considere las condiciones (ii)
Page 58 and 59:
los polinomios de interpolación in
Page 60 and 61:
La derivada segunda de u respecto a
Page 62 and 63:
4.3.3. Formulación a partir del Pr
Page 64 and 65:
¯K = ∫ L 0 BT D B d¯x 1 = ¯K =
Page 66 and 67:
Las cargas normales al eje de la vi
Page 68 and 69:
2. θ 1 (ξ) = ∑ 2 I=1 N I (ξ)
Page 70 and 71:
4.5.7. Cambio de base La expresión
Page 72 and 73:
Figura 5 Viga con deformación de c
Page 74 and 75:
4.6.1. Matriz de rigidez de una vig
Page 76 and 77:
Donde las funciones de forma son: N
Page 78 and 79:
(una para cada W J ) en función de
Page 80 and 81:
Ejercicio 1-Sea el problema de conv
Page 82 and 83:
o directamente las coordenadas noda
Page 84 and 85:
donde r es el residuo que se quiere
Page 86:
⎡ K 3−4 = ⎢ ⎣ K 4−5 = ⎡
Page 89 and 90:
Figura 1 Conducción del calor en 2
Page 91 and 92:
5.3. Forma variacional del problema
Page 93 and 94:
5.5. Flujo en un medio poroso El fl
Page 95 and 96:
ortotropía coinciden con las direc
Page 97 and 98:
5.6.5. Forma débil de la ecuación
Page 99 and 100:
Como φ es conocida sobre el contor
Page 101 and 102: La formulación débil que resulta
Page 103 and 104: 5.9.2. Formulación débil usando r
Page 105 and 106: ⎡ σ = ⎢ ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 σ
Page 107 and 108: Figura 7 Teoría de placas clásica
Page 109 and 110: Los esfuerzos de corte transversal
Page 111 and 112: Capítulo 6 Elementos finitos en do
Page 113 and 114: el punto p (ξ, η), y calculamos s
Page 115 and 116: Para el caso cuadrático (ξ, η) =
Page 117 and 118: ∂u ∂x 2 = NN∑ I=1 [ ∂N I
Page 119 and 120: Figura 5 Mapeamientos para funcione
Page 121 and 122: Elemento (L ( 1 , L 2 , L 3 ) w l L
Page 123 and 124: ahora dependiente sólo del valor d
Page 125 and 126: ∫ v ∫ σ ij δε ij dv = v δε
Page 127 and 128: 6.8.1. Funciones de interpolación,
Page 129 and 130: Siendo todas las variables constant
Page 131 and 132: (el I por ejemplo) con dicha fuente
Page 133 and 134: Capítulo 7 Aspectos generales asoc
Page 135 and 136: 7.2. Imposición de restricciones n
Page 137 and 138: entonces ¯k ij = k ij + 1 ǫ a ia
Page 139 and 140: Figura 2 viga flexible entre column
Page 141 and 142: D Matriz diagonal (definida positiv
Page 143 and 144: 7.5. Suavizado de Variables En el m
Page 145 and 146: 138
Page 147 and 148: Difícilmente se pueda encontrar un
Page 149 and 150: que para el caso de placas esbeltas
Page 151: cualquier variación de deformacion
Page 155 and 156: 148
Page 157 and 158: en tanto que las velocidades (conoc
Page 159 and 160: Interfaz 1 ξ en [ 1, 0] η en [ 1,
Page 161 and 162: Parte Difusiva ⎡ 1 ⎣ 2A s 2 2
Page 163 and 164: Figura 4 Borde donde el flujo σ ν
Page 165 and 166: φ=0 grad φ=0 φ=1 simetría Figur
Page 167 and 168: 162
Page 169 and 170: de ecuaciones), de tal forma de hac
Page 171 and 172: 3 4 7 3 6 5 8 9 6 1 4 2 1 5 2 Figur
Page 173 and 174: Esto esta así pensado para que lue
Page 175 and 176: LM(ndofe) arreglo que relaciona cad
show all

Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?