Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

cualquier variación de deformaciones debe satisfacerse la definición de las tensiones a partir de
la energía interna de deformación, esto es las ecuaciones constitutivas del problema. En tanto
que la tercera condición indica que para cualquier variación de tensiones deben satisfacerse las
ecuaciones cinemáticas. En definitiva que para que un conjunto de valores (u, ε, σ) sean solución
del problema, deben satisfacerse identicamente las condiciones de equilibrio, constitutivas y cinemáticas.
Planteado así el problema establecido es formalmente idéntico al reemplazo habitual de
constitutivas y cinemáticas sobre la energía potencial total a los fines de que esta quede expresada
sólo en función de los desplazamientos. Sin embargo el mantener en forma independiente los tres
campos de variables permite distintas aproximaciones numéricas a la solución del problema.
La técnica de deformaciones impuestas consiste en:
1. Establecer una interpolación independiente para el campo de deformaciones ε,
2. Escribir al campo de tensiones en función de las constitutivas. En tal caso estas se cumplen
en forma exacta y las tensiones no son una variable independiente.
3. Relacionar las deformaciones con los desplazamiento en un conjunto de puntos arbitrariamente
elegidos. Esto permite eliminar a las deformaciones como variables globales, quedando
el problema final exclusivamente en término de los desplazamientos.
Mostraremos como ejemplo como aplicar la técnica bosquejada para el término de corte transversal
en un elemento cuadrilátero de placa de cuatro nudos (bilineal).
Consideremos el elemento maestro correspondiente al cuadrilátero, es decir un cuadrado de lado
dos. En este elemento impondremos la siguiente interpolación para las deformaciones transversales
de corte
[ ]
γξ
= 1 [
γ η 2
0 1 − η 0 1 + η
1 − ξ 0 1 + ξ 0
⎡
]
⎢
⎣
γ A η
γ B ξ
γ C η
γ D ξ
⎤
⎥
⎦ = P (ξ, η) ˆγ (8.1)
donde las deformaciones de corte han sido definidas en el sistema de coordenadas locales (ξ,η)
del elemento maestro, en función de las deformaciones tangenciales al contorno en cuatro puntos
indicados como A(ξ = −1, η = 0), B(ξ = 0, η = −1), C(ξ = 1, η = 0) y D(ξ = 0, η = 1) (ver Figura
1). Según se ve cada componente de deformación se mantiene constante en una dirección y varía
linealmente en la otra.
Figura 1
Puntos de evaluación del corte transversal en cuadriláteros
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