Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

integrando por partes el primer término
∫ 1
d 2 û
W l
dx dx = W dû
2 l
dx∣
que reemplazada en la anterior
0
− ∫ 1
0
dW l
dx
dû
dx dx − ∫ 1
dû
− W l dx∣ +
x=0
1
0
−
∫ 1
0
dW l
dx
W dû
0 lû dx + W l
∣
dx
dû
dx dx
∣
x=1
[ __
( dû
W l
dx
)]x=1
− 20 = 0
como W l y W __
l son funciones arbitrarias elegimos a W l de tal modo que W l | x=0
= 0 y W __
l = −W l
en x = 1.
∫ 1
∫
dW l dû
1
−
0 dx dx dx − W l û dx + 20 W l | x=1
= 0
0
que se puede escribir como Ka = f con
K lm =
∫ 1
0
dW l
dx
∫
dφ 1
m
dx dx + W l φ m dx ; f l = 20 W l | x=1
0
Utilizando Galerkin y usando dos términos, resultan a 1 = 11,75 y a 2 = 3,4582. Los valores de û
en x = 1/2 y x = 1 se contrastan con los valores exactos
N ◦ términos 2 exacto
x = 1/2 6,7435 6,7540
x = 1 15,2161 15,2319
Las derivadas dû/dx con 1 y 2 términos en x = 1 resultan
N ◦ términos 1 2 exacto
dû∣ x=1
15 18,67 20
dx
1.4.4. Condiciones de borde naturales para la ecuación de conducción del calor
Consideremos la ecuación del calor
(
∂
k ∂u )
+ ∂ (
k ∂u )
+ F = 0 (1.50)
∂x ∂x ∂y ∂y
sujeta a las condiciones de borde esenciales
y naturales
y
u = _ u en Γ u (1.51)
σ n = −k ∂u
∂n = _ σ en Γ σ (1.52)
σ n = −k ∂u
∂n = p (u − u ∞) en Γ c (1.53)
en donde el tilde significa que la variable es conocida. La condición σ n = −k ∂u
∂n = _ σ dice que el flujo
en dirección de la normal a la curva Γ σ es conocido, mientras que la condición σ n = p (u − u ∞ )
representa una condición de convección en la que p es una constante (dato) que depende del medio
y de las condiciones en que tiene lugar la convección, u es el valor de la temperatura (incógnita)
en el borde Γ c y u ∞ es la temperatura del medio próximo (dato).
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