Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

que para el caso de placas esbeltas ( L
h ≃ 100) , conduce a valores de α del orden de 10.000.
Este problema fue rápidamente detectado y se propusieron distintas aproximaciones para solucionarlo
Subvaluar el término asociado al corte. Esto se conoce como “integración reducida”. Habitualmente
las matrices de rigidez de los elementos se obtienen por integración numérica,
donde la cantidad de puntos de integración depende del orden de los polinomios a integrar
y se elige de tal forma de integrarlos en forma lo más exacta posible, de tal forma de evitar
modos de deformación espurios sin energía asociada. Integrar en forma reducida consiste en
usar menor cantidad de puntos que los necesarios, lo que puede verse como disminuir el valor
de energía asociada o como permitir la existencia de modos de deformación con baja energía
asociada. Esta “subintegración” se realiza exclusivamente sobre los términos asociados al
corte pues de otra manera conduce a singularidades (modos de cuerpo rígido) mayores que
las necesarias. Esta técnica fue ampliamente utilizada (y lo sigue siendo en muchos casos)
pero no funciona en todos los casos, resultando en elementos que no son robustos.
Aproximaciones mixtas. Tienen una mejor fundamentación desde el punto de vista teórico,
por lo cual permiten una mayor justicación. Los resultados obtenidos son en general muy
buenos y han dado lugar a un avance significativo de este tipo de elementos, que en general
se presentan como los de uso estándar a pesar de las desventajas mencionadas.
Finalmente se hace notar que en general los elementos que incluyen deformaciones transversales
de corte, son más sencillo de llevar al rango no-lineal geométrico. Por otro lado los elementos más
eficientes en el análisis de problemas elasto-plásticos son aquellos de bajo orden de interpolación.
8.3.1. Elemento de placa con deformaciones por corte
Debido a que la formulación resulta de continuidad C 0 su desarrollo no presenta ninguna
dificultad. Observemos como obtener las expresiones para un elemento isoparamétrico en general
y para un cuadrilátero de cuatro nudos en particular.
Para una aproximación isoparamétrica tendremos (con NN el número de nudos)
⎡
⎣ w ⎤
⎡ ⎤
NN∑
w I
θ x
⎦ = N I (ξ, η) ⎣ θ I ⎦
x
θ y I=1
θ I y
[ ]
x
NN∑
[ ]
x
= N
y
I I
(ξ, η)
y I
La relación deformación-desplazamiento puede escribirse como
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
∂
∂
χ 11
0 0
0 0
∂x χ 22
∂
0 0 ⎡
∂y
⎢ χ 12
⎥
⎣ γ 1
⎦ = ∂ ∂
0 ∂y ∂x
⎣ w ⎤
∂x ∂
0 0 ∂y
θ x
⎦ ∂ ∂
=
0 ∂y ∂x
⎢ ∂ ⎥ ⎢
⎣ −1 0
∂x
⎦ θ
∂ ⎥
y ⎣ −1 0
∂x
⎦
γ
∂
∂
2
0 −1
0 −1
∂y ∂y
[ ]
Bb
= B u e = u
B e
s
I=1
NN∑
I=1
N I (ξ, η)
donde el vector u e (3NN × 1) incluye las variables nodales incógnitas del elemento y en la matriz
B se han distinguido la parte asociada a la flexión (B b ) y la parte asociada al corte (B s ). Para el
elemento de cuatro nudos estas matrices resultan
142
⎡
[B b ] 3×12
= ⎣
0 N 1
′ x 0 0 N 2
′ x 0 0 N 3
′ x 0 0 N 4
′ x 0
0 0 N 1
′ y 0 0 N 2
′ y 0 0 N 3
′ y 0 0 N 4
′ y
0 N 1
′ y
N 1
′ x
0 N 2
′ y
N 2
′ x
0 N 3
′ y
N 3
′ x
0 N 4
′ y
N 4
′ x
⎡
⎣
⎤
⎦
w I
θ I x
θ I y
⎤
⎦