Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Zienkiewics, O.C. y Taylor R.L., The Finite Element Method, 4ta edición, Vol II, Mc. Graw
Hill, Londres, 1991.
8.2.1. La prueba de la parcela (“patch test”)
En problemas sencillos y con aproximaciones estándar como los vistos en los capítulos anteriores,
los elementos finitos presentados cumplen con un conjunto de condiciones que aseguran su
convergencia al refinar la malla. Cuando las ecuaciones que gobiernan el comportamiento son más
complejas y particularmente cuando se proponen soluciones que no satisfacen en forma exacta los
requisitos previos, es necesario demostrar que el comportamiento del elemento es satisfactorio y
que converge a la solución correcta. Una de las pruebas más sencillas para evaluar esto se conoce
como “prueba de la parcela”. En general cuando se aumenta la discretización para un problema
dado, se espera que en el límite el estado de deformaciones (y tensiones) dentro de un elemento sea
constante. Por ello se impone como condición básica que todo elemento sea capaz de representar
un estado de deformación constante y más aún, que un pequeño grupo (parcela) de elementos,
sometido a fuerzas asociadas a un estado tensional uniforme, pueda hacerlo. Se toma entonces
una problema muy sencillo (un dominio rectangular por ejemplo), con un estado de carga que
conduzca a un estado tensional constante y se pide que la parcela sea capaz de reproducirlo. Habitualmente
se intenta mostrar que al distorsionar los elementos dentro de dominio, no se deteriore
el comportamiento.
8.3. Elementos de placa basados en la teoría de Reissner
A diferencia de la teoría de Kirchhoff, la teoría de Reissner-Mindlin conduce a problemas de
continuidad C 0 , por lo cual los problemas asociados a la continuidad de la derivada mencionados
anteriormente no aparecen y es posible satisfacer con facilidad las condiciones de continuidad
inter-elementos. Esto debido a que las variables independientes del problema son ahora no sólo
el desplazamiento transversal w sino también los giros θ, que son independientes entre sí. En
consecuencia cualquiera de las aproximaciones utilizadas para problemas 2-D presentadas oportunamente
pueden ser utilizadas y pasan la prueba de la parcela pues es posible representar estados
de deformación (curvatura) constante.
Debe hacerse notar que al aproximar ahora tres variables (w, θ 1 y θ 2 ) en vez de una (w), la
cantidad de parámetros necesarios para obtener una solución similar aumenta considerablemente.
Por lo tanto para lograr aproximaciones similares resulta necesario utilizar mallas más densas.
Por otro lado los elementos de continuidad C 1 , utilizan en general polinomios de mayor orden lo
que conduce naturalmente a una mejor aproximación con menor cantidad de elementos, es decir
convergen más rápidamente, por lo cual desde el punto de vista de la cantidad de grados de libertad,
la utilización de elementos de tipo C 0 resulta doblemente inconveniente.
La utilización de elementos basados en esta teoría presentan la ventaja de considerar la influencia
de la deformación del corte transversal. Esto es efectivamente una ventaja cuando esta
influencia es realmente apreciable. Por el contrario cuando la influencia del corte empieza a ser
despreciable (placas esbeltas y muy esbeltas) se convierte en una desventaja que incluso conduce
a hacer inservibles estos elementos debido a que se produce un “bloqueo” numérico (hay formas
de solucionar esto). Este bloqueo numérico se produce debido a la imposibilidad de las funciones
de forma de acomodar adecuadamente la condición
∇w − θ ∼ = 0
lo que se traduce en un aumento espurio de la energía de deformación debida al corte transversal.
Esto puede verse en los distintos términos que componen la energía interna de deformación de una
placa, donde la rigidez a la flexión está definida por D =
Eh2 en tanto que la rigidez al corte
12(1−ν 2 )
es C = Gh. En función de la mínima dimensión de la placa L es posible definir un coeficiente
adimensional
α = C D L2 = 12Gh ( ) L2 (1 − ν 2 2
) L
≈
Eh 3 h
141