Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

7.5. Suavizado de Variables
En el método de elementos finitos se asegura continuidad de las variables principales del problema
(los desplazamientos en un problema de elasticidad), pero en general las variables derivadas
resultan discontinuas entre elementos. Resulta necesario, a los fines de visualizar las variables o
estimar errores de la solución, un valor único y continuo de las variables derivadas de la misma forma
que uno conoce las variables principales. El flujo σ en los nodos puede calcularse directamente
de la relación
σ ( x I) = σ I = DB ( x I) u e
sin embargo es más común su evaluación a partir de extrapolaciones desde los puntos de integración
debido a que son los puntos óptimos (en el sentido de que tienen el menor error) de evaluación de
las variables derivadas.
Sean σ G los valores de las variables que interesa suavizar evaluadas en los puntos de integración.
Sea ˜σ (ξ) con valores dentro de cada elemento, las variables extrapoladas a partir de los
valores σ G
∑NG
˜σ (ξ) = Φ G (ξ) σ G
G=1
donde NG es el número de puntos de integración en el elemento y las Φ G son funciones de
forma definidas similarmente a las funciones nodales pero ahora con la condición:
Φ ( G ξ A) { 1 si A = G
=
0 si A ≠ G
con A un punto de integración.
Interesa obtener las variables derivadas en los nudos en función de las variables en los puntos de
integración. Denominaremos con σ I a las variables suavizadas, (incógnitas por ahora) en los nudos.
Dentro de un elemento cualquiera, el valor de estas variables se puede interpolar en la forma:
ˆσ (ξ) =
NN∑
G=1
N I (ξ) σ I
donde NN es el número de nudos del elemento y las N I son las tí picos funciones de interpolación
nodales.
Debemos ahora fijar algún criterio que nos permita obtener las σ I a partir de las σ G . Dicho
criterio puede ser que resulte mínima la integral del cuadrado de la diferencia entre las variables
interpoladas a partir de los valores nodales y a partir de los valores en los puntos de integración,
es decir minimizar:
R = 1 ∫
(ˆσ − ˜σ) 2 dV
2
R = 1 2
V
∑NE
∫
E=1
V E [ NN∑
I=1
]
NG
2
∑
N I σ I − Φ G σ G dV E
donde NE es el número de elementos en la discretización. La condición de mínimo es:
G=1
∂R
∂σ = 0 = ∑NE
∫ [ NN∑
]
∑NG
N I N J σ J − Φ G σ I G dV E
E=1
V E I=1
G=1
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