Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Usar funciones de forma que satisfagan las condiciones de borde y funciones que no.
Ejercicio N ◦ 14:resolver el Ejercicio N ◦ 6 usando una aproximación que satisfaga la condición en
x = 0 y no en x = 1. Usar funciones de peso ¯W l = α φ l | Γ
, donde α es una constante, y comparar
los resultados obtenidos con α = ±0,1, ±10, ±100. con los obtenidos en el Ej.N ◦ 6 en el que las
aproximaciones satisfacían las condiciones de borde.
Ejercicio N ◦ 15: resolver el Ejercicio N ◦ 9 utilizando una aproximación que satisfaga solamente
las condiciones de borde en los lados x = ±1. Analice la convergencia de la aproximación a las
condiciones de borde en los lados y = ±1.
Ejercicio N ◦ 16: resolver el Ejercicio N ◦ 10 utilizando funciones de aproximación que satisfagan
solamente la condición de desplazamiento nulo en los bordes de la placa. Analice la mejora en la
aproximación de las condiciones de borde con el aumento de términos incluidos en la aproximación.
1.4.3. Forma débil del problema. Condiciones de borde naturales.
Los ejemplos de la sección previa han mostrado que es posible evaluar los coeficientes de
la expansión (1.43), y por lo tanto obtener una solución aproximada, sin satisfacer a priori las
condiciones de borde. Sin embargo, la formulación expresada en la ec. (1.46) puede dificultarse
cuando las integrales de borde, que pueden contener derivadas de û, deban evaluarse en bordes
curvos o de forma complicada.
En esta sección se verá cómo evitar este tipo de cálculos y proponer un tratamiento más general
de las condiciones de borde.
Retomando el planteo en residuos ponderados (1.46), se observa que el primer término de la
primer integral
∫
∫
W l R Ω dΩ = W l [L (û) + p] dΩ (1.48)
puede ser reescrito mediante una integración por partes como:
∫
∫
∫
W l L (û) dΩ = [CW l ] [D (û)] dΩ +
Ω
Ω
Ω
Ω
Γ
W l E (û) dΓ (1.49)
en la que C, D,y E son operadores diferenciales lineales de un orden de diferenciación menor que el
correspondiente al operador L. La expresión obtenida se conoce como forma débil del problema
de residuos ponderados.
Entonces, al reemplazar la ec.(1.49) en la (1.46) es posible adecuar el último término de la
ec. (1.49) para que se cancele con parte del último término de la ec. (1.46). Esto puede realizarse
eligiendo convenientemente la función de peso W __
l , con lo que desaparecen las integrales de borde
que involucran a û o sus derivadas. Este procedimiento es aplicable sólo con algunas de las condiciones
de borde que llamaremos naturales. En general, las condiciones de borde esenciales, que
fijan los valores de la función en el borde, no se benefician de este tratamiento.
Una ventaja adicional, al hecho de que el orden de las funciones de aproximación es menor, es
que el sistema de ecuaciones finales será, en general, simétrico.
Ejemplo N ◦ 5: sea la ecuación diferencial
{
d 2 u
u = 0 en x = 0
dx − u = 0 con du
2 = 20 en x = 1
dx
y la aproximación û = ψ + ∑ M
m=1 a mφ m elegida de tal forma que la condición en x = 0 sea
automaticamente satisfecha. Tomemos ψ = 0 y φ m = x m para m = 1, 2, ...M. Entonces, la
minimización del error por residuos ponderados toma la forma:
14
∫ 1
0
W l
( d2û
dx 2 − û )
dx +
[ __
( dû
W l
dx
)]x=1
− 20 = 0