Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Analicemos como pasar la matriz de rigidez de una viga espacial de su sistema local al sistema global. Para realizar un cambio de coordenadas entre dos sistemas es posible observar (ver figura) que las relaciones que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma ū i = R u i ¯θ i = R θ i donde la matriz rotación R es R = [ t 1 t 3 t 3 ] Figura 1 Cambio de sistema en una viga La matriz de transformación Λ resulta entonces de ⎡ ū 1 ⎤ ⎡ R ū e = ⎢ ¯θ 1 ⎥ ⎣ ū 2 ⎦ = ⎢ R ⎣ R ¯θ 2 R ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎤ u 1 θ 1 u 2 θ 2 ⎥ ⎦ = Λ ue Las expresiones de cambio de la matriz de rigidez y el vector de términos independientes tienen la forma vista antes, es decir: K = Λ T ¯K Λ f = Λ T ¯f Notar que la relación ū e = Λ u e puede verse como doce relaciones de restricción de los grados de libertad en ū e en función de los grados de libertad en u e . La aplicación de la primera de las metodologías explicadas para tratar restricciones conduce a las mismas expresiones obtenidas aquí. Conceptualmente la misma idea puede aplicarse a otras condiciones o dependencias. Veamos un ejemplo de características distintas. Sea la intersección ortogonal de un elemento de viga (horizontal) con otros dos verticales (columnas), dentro de un pórtico plano La discretización habitual supone a los elementos unidos en la intersección de sus respectivos ejes baricéntricos. Obviamente esto no es así en la realidad. La utilización de la longitud de cada elemento como la distancia entre los nudos conduce a que 1. se incluya más masa que la real al haber un solapamiento de los dominios (parte sombreada) 2. la viga resulte más flexible debido a que la longitud de cálculo L es mayor que la real. Supongamos que la rigidez de las columnas es significativamente mayor que la de la viga, una mejora en la formulación consiste en evaluar las rigideces de las columnas usando la distancia entre nudos L y para las vigas usar como longitud de cálculo la distancia efectivamente libre 132
Figura 2 viga flexible entre columnas entre columna y columna. Llamemos como hasta ahora ¯K y ¯M las matrices de rigidez y masa del elemento de viga usando la longitud efectiva L e , que estarán referidas a los desplazamientos (y giros) de los puntos ¯1 y ¯3 (ū 1 , ū 2 ). Desde el punto de vista operativo los nudos ¯1 y ¯3 son sólo auxiliares y no intervienen en el sistema de ecuaciones a resolver que sólo incluye los nodos ubicados en la intersección de los ejes de vigas y columnas. Resulta entonces necesario determinar la relación que existe entre los desplazamientos de estos nudos ficticios y los de los nudos 1 y 2. Observemos en la siguiente figura como dependen los desplazamientos del nudo ¯1 de los del nudo 1. Notar que por las hipótesis de Navier, la línea que une los nudos 1 y ¯1 se mantiene recta y normal a la curva deformada de la columna Figura 3 relación entre grados de libertad En base a consideraciones geométricas sencillas tenemos que ū 1 1 = u 1 1 + e1 ( cos β 1 − 1 ) ū 1 2 = u 1 2 + e1 sin β 1 en tanto que la hipótesis de pequeños desplazamientos y giros conduce a las siguientes relaciones lineales ū 1 1 = u 1 1 ū 1 2 = u 1 2 + β1 e 1 ¯β 1 = β 1 133
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