Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

pero ahora v k y u k no son independientes y podemos reemplazarlos por su definición anterior:
⎧⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤⎫
k 11 ... k 1k ... k 1n
u 1
f 1
[
v 1 , ..., ∑ ] ⎪⎨
: :
:
a i v i , ...v n ⎢ k k1 ... k kk ... k kn
⎥ ⎢ ū k + ∑ i≠k a iu i
⎥
i≠k
⎣ : : ⎦ ⎣ : ⎦ − :
⎪⎬
⎢ f k
⎥ = 0
⎣ : ⎦
⎪⎩
⎪⎭
k n1 ... k nk ... k nn u n
f n
Si operamos sobre la expresión anterior, podemos escribir
⎧⎡
⎤ ⎡
¯k 11 ... ¯k1(k−1) ¯k1(k+1) ... ¯k1n
⎪⎨
: :
[v 1 , ..., v k−1 , v k+1 , ...v n ]
¯k (k−1)1 ... ¯k(k−1)(k−1) ¯k(k−1)(k+1) ¯k(k−1)n
⎢
¯k (k+1)1 ...
¯k(k+1)(k−1)
¯k(k+1)(k+1) ...
¯k(k+1)n
⎥ ⎢
⎣ : : ⎦ ⎣
⎪⎩
k n1 ... ¯kn(k−1) ¯kn(k+1) ... k nn
u 1
:
u k−1
u k+1
:
u n
⎤
⎡
−
⎥ ⎢
⎦ ⎣
¯f 1
:
¯f k−1
¯f k+1
:
¯f n
⎤⎫
⎪⎬
⎥
⎦
⎪⎭
= 0
que corresponde a un sistema de (n − 1) ecuaciones con (n − 1) incógnitas donde en forma explícita
tenemos
¯k ij = k ij + a i k kj + k ik a j + a i k kk a j
¯f i = f i + a i f i − k ik ū k
7.2.2. Técnica de penalización
Esta técnica es muy utilizada porque requiere una lógica de programación más sencilla y si
bien las restricciones no se imponen en forma exacta se puede obtener resultados suficientemente
buenos.
Para darle una interpretación matemática sencilla, supongamos que nuestro sistema de ecuaciones
resultó de la minimización del siguiente funcional
Π (u) = 1 2 uT K u − u T f
Aumentemos este funcional con un término de la forma
1
2ǫ (ū k + a · u) 2
que no es otra cosa que la restricción elevada al cuadrado. Donde ǫ es un valor constante suficientemente
pequeño (coeficiente de penalización) de forma tal que si ahora escribimos un funcional
aumentado
ˆΠ (u) = 1 2 uT K u − u T f + 1 2ǫ (ū k + a · u) 2
la minimización de este nuevo funcional conducirá a la solución de nuestro problema. El grado
de cumplimiento de la restricción impuesta dependerá del valor de ǫ. Cuando este valor tiende a
0, un mínimo incumplimiento de la restricción incrementa notoriamente el valor de ˆΠ, por lo que
la condición de mínimo está gobernada por la primera parte del funcional. Por otra parte valores
muy pequeños de ǫ (y en consecuencia muy grandes de su inversa) pueden producir problemas
numéricos debido a la precisión de las computadoras. La condición de mínimo resulta ahora
si el nuevo sistema se escribe
130
∂ ˆΠ (u)
∂u i
=
n∑
j=1
k ij u j − f i + a i
ǫ
¯K u = ¯f
[
ū k +
]
n∑
a j u j = 0
j=1