Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

7.2. Imposición de restricciones nodales
En esta sección intentaremos mostrar como imponer condiciones de borde esenciales de una
cierta generalidad. Si bien hablamos de “condiciones de contorno” las técnicas que se describen
corresponden al tratamiento de restricciones cinemáticas que pueden tener interpretaciones más
generales, y permiten imponer hasta hipótesis de comportamiento en el modelo. Supondremos que
esta condición puede escribirse de la siguiente forma:
u k = ū k + ∑ i≠k
a i u i (7.1)
esta expresión dice que un grado de libertad genérico u k puede escribirse como una constante ū k
más una combinación lineal de otros grados de libertad (donde por supuesto no aparece el grado
de libertad u k ) a través de coeficientes a i (que eventualmente pueden ser 0 la mayoría o todos
ellos). Este tipo de restricción puede representar muchos casos prácticos entre ellos:
Desplazamiento prescripto de valor ū k (a i = 0 en tal caso)
Apoyos que no coinciden con las direcciones del sistema global de coordenadas.
Nudos maestros
Modelado de dominios con simetría cíclica.
Unión de elementos finitos con distintos grados de interpolación en el contorno o con diferentes
grados de libertad.
Articulaciones en pórticos
Rigidizadores de láminas
En la expresión que define la restricción (7.1) si introducimos un coeficiente a k = −1 la podemos
escribir
ū k + ∑ a i u i = ū k + a · u = 0 (7.2)
Existen diferentes formas de imponer este tipo de restricciones en el sistema de ecuaciones, con
diferentes ventajas y desventajas. Notemos antes que no es posible simplemente adicionar al sistema
de ecuaciones existente esta nueva ecuación pues tendríamos más ecuaciones que incógnitas.
7.2.1. Imposición exacta de la condición
Dado que u k no resulta independiente el problema puede verse como de orden n−1. De acuerdo
a la formulación utilizada para obtener nuestro sistema de ecuaciones podemos suponer que la
función de ponderación asociada, o el desplazamiento virtual, o la variación de desplazamiento
tiene la misma dependencia, es decir
v k = ∑ i≠k a iv i δu k = ∑ i≠k a iδu i
a · v = 0 a · δu = 0
El sistema de ecuaciones de que disponemos puede escribirse
v T K u − v T f = 0
en forma desarrollada
⎧⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
k 11 ... k 1k ... k 1n u 1
⎪⎨
: :
:
[v 1 , ..., v k , ...v n ]
⎢ k k1 ... k kk ... k kn
⎥ ⎢ u k
⎥
⎣ : : ⎦ ⎣ : ⎦ − ⎢
⎣
⎪⎩
k n1 ... k nk ... k nn u n
⎤
f 1
:
f k
⎥
: ⎦
f n
⎫
⎪⎬
= 0
⎪⎭
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