Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

(el I por ejemplo) con dicha fuente puntual, de tal forma que el término correspondiente resulta
sencillamente
ϕ I Q
La integral sobre el contorno puede dividirse en dos partes
∫
∫
∫
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ = ϕ¯σ ν dS σ − ϕρφ u · ν dS σ
S σ S σ S σ
Las aproximaciones sobre el contorno de φ, ϕ, u, resultan de particularizar las aproximaciones
sobre el dominio de cada elemento al contorno correspondiente. Recordar que las funciones de
forma utilizadas conducen a que el valor de las variables dependa sólo de las variables sobre el
contorno.
En el primer término aparecen todos valores conocidos, definido el flujo ¯σ ν su integral es inmediata
y contribuye al término independiente. El segundo término implica valores de la incógnita
del problema, por lo cual contribuye a la matriz de coeficientes del problemas, este término resulta
∫
− ϕρφ u · ν dS σ = −Ψ
∫S T (ρu · ν) W T N dS σ Φ
σ S σ
El término entre paréntesis no es otra cosa que el flujo de masa a través del contorno.
Particularizado para el caso de elementos lineales, donde cada contorno elemental está formado
por una segmento de dos nudos, localmente los designaremos con 1 y 2, de coordenadas x 1 y x 2 ,
en los cuales los valores del flujo y la velocidad son respectivamente ¯σ 1 ν u 1 y ¯σ 2 ν u 2 . El orden en
que se definen los nudos 1 y 2 supone que al moverse del nudo 1 al 2 el dominio del problema está
a la izquierda, esto conduce a que
l = ∥ ∥x 2 − x 1∥ ∥
ν = x2 − x 1
Las aproximaciones (lineales) sobre el contorno son (con ξ en [0,1])
φ = (1 − ξ) φ 1 + ξφ 2
u ν = (1 − ξ) ( u 1 · ν ) + ξ ( u 2 · ν )
¯σ ν = (1 − ξ) ¯σ 1 ν + ξ¯σ2 ν
ϕ = ¯W 1 (ξ) ϕ 1 + ¯W 2 (ξ) ϕ 2
l
Luego la integral del primer término resulta
ϕ¯σ ν dS σ =
∫S [ ϕ 1 , ϕ 2] ∫ 1
[ ]
[ ¯W
1
¯σ
1
σ
¯W 2 [(1 − ξ) , ξ] ν
¯σ 2 ν
0
]
l dξ
y la del segundo
− ϕρφ u · ν dS σ = −
∫S [ ϕ 1 , ϕ 2] ∫ 1
ρ [ ] [ ] ¯W
(1 − ξ) u 1 ν + ξu 2 1
ν
σ 0
¯W 2 [(1 − ξ) , ξ] l dξ
[ φ
1
φ 2 ]
125