Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

con
El gradiente de la variable incógnita φ y de la función de ponderación se escribe
[ ] ⎡ ⎤
N
1
′ 1
... N
∇φ =
NN φ 1 [ ] [ ]
′ 1 ⎣
N 1
′ 2 ... N NN ... ⎦
N′ 1
= Φ = J −1 N′ ξ
Φ
′ 2
φ NN N′ 2
N′ η
∇ϕ =
[ W
1
′ 1
... W NN
′ 1
W 1
′ 2 ... W NN
′ 2
] ⎡ ⎣
W NN
NN×1
′ 1 W 1
′ 2
ϕ 1
...
ϕ NN
⎤
⎦ =
[
W′ 1
W′ 2
]
Ψ = J −1 [
W′ ξ
Las integrales sobre el dominio de los términos convectivo y difusivo toman la forma
⎡ ⎤
⎡
∫
ρ [ ϕ 1 , ..., ϕ NN] W 1
[ ]
[ ]
⎣ ... ⎦
N
1
′ 1
... N
u1 u NN φ 1
′ 1
1×NN
2
⎣
1×2
A
N 1
′ 2 ... N NN
...
′ 2 2×NN φ NN
∫
[
+ ϕ 1 , ..., ϕ NN] 1×NN
A
⎡
W 1
⎣ ... ...
W NN
′ 1 W NN
′ 2
⎤
⎦
NN×2
[
Γ11 Γ 12
o en forma compacta
∫
{
Ψ T ρW T u T + [ W T′ 1 , }
2] [ Γ N′ 1
WT′
A
C =
D =
∫
∫
A
A
Γ 21 Γ 22
]2×2
N′ 2
ρW T u T [
N′ 1
N′ 2
W′ η
]
Ψ
[ N
1
′ 1
... N NN
′ 1
N 1
′ 2 ... N NN
′ 2
]
dA Φ = Ψ T [C + D] Φ
]
dA
[
W
T
′ 1 , WT′ 2]
Γ
[
N′ 1
N′ 2
]
dA
]
⎤
⎦
2×NN
NN×1
Notar que aunque se utilice la aproximación de Galerkin, el término convectivo conduce a una
matriz de coeficientes no simétrica. La asimetría si bien representa un mayor costo computacional,
no es un problema importante, el mayor problema se da en los problemas fuertemente convectivos
(C dominante) que presentan grandes inestabilidades numéricas.
El término debido a fuentes internas (q) admite múltiples aproximaciones, la más sencilla es
suponer que dentro de un elemento el valor es constante, en tal caso la integral resulta
∫
∫
ϕqdA = Ψ T W T dA q
A
Una segunda posibilidad es interpolar el valor de q en la misma forma que φ, en tal caso
⎡
q = N ⎣
q1
...
q NN
⎤
⎦
donde q I es el valor de la fuente interna (distribuida) en el nudo I , luego
⎡ ⎤
∫
∫
ϕqdA = Ψ T W T N ⎣
q1
... ⎦ dA
A
A
q NN
Interpolaciones de mayor orden para el término de fuente no tienen mucho sentido. Finalmente
si lo que existe es una fuente puntual Q, lo más sencillo es hacer coincidir un nudo de la malla
124
A
⎡
⎣
dA
φ 1
...
φ NN
⎤
⎦
NN×