Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Notar que K es no simétrica aun cuando se utilizó el método de Galerkin. La solución es
a 1 = 0,068 a 2 = 0,632 a 3 = 0,226
La convergencia en la aproximación a las condiciones de borde en x = 0 y x = 1 se observa en la
siguiente tabla con aproximaciones usando 1,2 o 3 términos
N ◦ términos 1 2 3 exacto
x=0 1/3 −0,095 0,068 0
x=1 1/3 0,762 0,925 1
Ejemplo N ◦ 4: resolveremos nuevamente el ejemplo 2 utilizando nuevamente funciones pares
pero relajando la condición de que las funciones de prueba satisfagan las condiciones de borde.
Elegimos el conjunto de funciones
φ 1 = 4 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1
φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 . . .
que para una aproximación en 5 términos conduce a
ˆϕ = ( 4 − y 2) ( a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4)
que satisface las condiciones de borde en y = ±2 pero no en x = ±3. En consecuencia, esta
condición debe incorporarse al problema a través del enunciado de residuos ponderados
∫ 3 ∫ 2
( )
∂ 2 ϕ
∂x + ∂2 ϕ
2 ∂y + 2 W 2 l dydx+
∫ 2
−2
−3
−2
[ ] ∫ 2
¯Wlˆϕ dy − [ ¯Wl ˆϕ ] dy = 0
x=3 x=−3
Adoptando W l = φ l ; ¯W l = φ l | Γ
, resulta
⎡
⎤ ⎡
6,7 −44 43,7 80 813,6
−12 −333,6 105,6 355,2 −5748,7
K =
⎢ 11,7 −16 159,1 389,5 −547,2
⎥
⎣ 9,6 −163,2 433,4 1971,6 −3932,4 ⎦ ; f = ⎢
⎣
−237,6 −3156,7 432 1473,7 −46239,4
−2
12
36
16
48
194,4
A continuación se presentan la máxima tensión de corte τ y momento actuante T obtenidos con
2 y 5 términos
N ◦ términos 2 5 exacto
T 58,94 73,6 76,40
|τ| 3,52 3,33 2,96
1.4.2.2. Ejercicios.
Ejercicio N ◦ 11: graficar la solución obtenida en el ejemplo 3 conjuntamente con la exacta y las
obtenidas en el ejemplo 1.
Ejercicio N ◦ 12: con los datos del ejemplo 4 verifique el valor del momento T que figura en la
tabla y obtenido con 5 términos.
Ejercicio N ◦ 13: Utilizar el método de Galerkin para resolver el siguiente ejercicio y comparar
con la solución exacta
d 2 u
dx 2 + u = 0 con { u = 1 en x = 0
u = 0 en x = 1
⎤
⎥
⎦
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