Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Siendo todas las variables constantes en el espesor h entonces
∫
∫
( ) dv = h ( ) dA
v
La matriz B es función de (ξ, η) luego resulta necesario cambiar las variables de integración,
para ello es necesario reconocer que dA = |J| dξ dη , reemplazando y cambiando los límites de
integración correspondientes resulta
K e = h
∫ 1 ∫ 1
−1
−1
A
B T (ξ, η) D B (ξ, η) |J| dξ dη
En general la matriz J cambia de punto a punto (salvo que el cuadrilátero sea un paralelepípedo)
por lo que el determinante |J| y B serán variables. Esto hace imposible evaluar la integral en forma
explícita por lo que es necesario recurrir a técnicas de integración numérica para el cálculo de K e ,
en general para un elemento bilineal será necesario y suficiente usar una regla de integración de
2 × 2 puntos
6.8.3. Cálculo de las fuerzas nodales equivalentes
Supongamos un valor uniforme de la fuerza másica en la dirección −x 2 .
[ ]
0
F =ρg
−1
∫
v
δu F dv = δu T e
hρg
∫ 1 ∫ 1
−1
−1
Φ T [ 0
−1
Puede verse que el vector de fuerzas másicas resulta
]
|J| dξ dη = δu T e
G e
∫ 1
∫ 1
[
G e = −ρgh 0 φ
1
−1 −1
0 φ 2 0 φ 3 0 φ 4 ] T
|J| dξ dη
6.9. Problemas de convección-difusión
Analicemos ahora un problema con un operador diferencial que no es auto-adjunto. La aplicación
del método de residuos ponderados sobre la ecuación diferencial de convección difusión
conduce a
∫
∫
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ +
S σ
Utilizando una aproximación
φ =
ϕ =
NN∑
I=1
NN∑
I=1
A
∫
ϕ (ρu) · ∇φdA +
⎡
N I (ξ, η) φ I = [ N 1 , ..., N NN] ⎣
⎡
W I (ξ, η) ϕ I = [ W 1 , ..., W NN] ⎣
A
∫
∇ϕ · Γ∇φ dA +
φ 1
...
φ NN
ϕ1
...
ϕ NN
⎤
⎦ = NΦ
⎤
A
⎦ = WΨ
ϕqdA = 0
Donde habitualmente en este tipo de problemas no se adopta la aproximación de Galerkin
(N I = W I ). En el contorno S φ se ha impuesto como siempre que la solución propuesta satisface
identicamente φ = ¯φ y consecuentemente allí ϕ = 0, de tal forma que la integral sobre el contorno
sólo aparece la parte donde se conoce el flujo
∫
S σ
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ
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