Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

6.8.1. Funciones de interpolación, geometría y desplazamientos
Lo primero que haremos será recordar el elemento maestro definido por un cuadrado de lado 2
centrado en el origen, sobre el que se definen dos coordenadas locales (ξ, η). Sobre este cuadrado
resulta sencillo definir funciones de interpolación que satisfagan los requisitos pedidos. Para ello
utilizaremos los polinomios de Lagrange de grado 1 (que tienen la característica de valer 1 en el
punto al que esta asociado el polinomio y 0 en el resto de los puntos que lo definen) que tienen la
forma indicada en la figura
L 1 = 1 (1 − ξ)
2
L2 = 1 (1 + ξ)
2
Como explicáramos antes el producto de los polinomios de Lagrange expresadas en ambas
coordenadas locales permite obtener las 4 funciones de interpolación
φ 1 = 1 (1 − ξ)(1 − η)
4
φ 2 = 1 (1 + ξ)(1 − η)
4
φ 3 = 1 (1 + ξ)(1 + η)
4
φ 4 = 1 (1 − ξ)(1 + η)
4
Tales que se satisface que φ ( I ξ J , η J) = δ IJ , y además son continuas y lineales a lo largo del
contorno.
Podemos ahora definir la geometría del elemento a partir de las coordenadas de los nodos. Esto
es establecer una correspondencia entre las coordenadas locales (ξ, η) y las coordenadas físicas
(x 1 , x 2 )
4∑
x (ξ, η) = φ I (ξ, η) x I
I=1
Existirá una relación biunívoca entre (x 1 , x 2 ) y (ξ, η) si y sólo si el determinante de la matriz
de la transformación (jacobiana) es positivo en todo punto.
⎡
⎢
J = ⎣
∂x 1
∂ξ
∂x 1
∂x 2
∂ξ
∂x 2
⎤
⎥
⎦
∂η ∂η
Si el determinante de J es positivo en todo punto, lo que ocurrirá siempre que todos los ángulos
internos del cuadrilátero sean menores que π, es posible calcular la matriz inversa
⎡
J −1 ⎢
= ⎣
∂ξ
∂x 1
∂ξ
∂η
∂x 1
∂η
⎤
⎥
⎦
∂x 2 ∂x 2
Para los desplazamientos usaremos la misma aproximación, es decir las mismas funciones de
interpolación
4∑
u (ξ, η) = φ I (ξ, η) u I
I=1
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