Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

6.7.3.2. Fuerzas de contorno
El trabajo virtual de las fuerzas de contorno, sólo se considera sobre aquellos elementos que
tengan un lado o cara coincidente con el contorno donde se conocen las fuerzas exteriores. Sea
entonces un elemento cualquiera sobre el contorno del cuerpo que tiene cargas actuantes sobre una
de sus caras. Dicha cara estará definida por un subconjunto de los nudos del elemento NC. Notar
que debido a las exigencias impuestas sobre las funciones de interpolación, los desplazamientos
sobre una cara del elemento dependen sólo de los nudos sobre la cara es decir sobre el subconjunto
NC. Los desplazamientos virtuales pueden entonces escribirse:
∑NC
δu =
I=1
φ I δu I
De la misma forma es posible describir la carga externa
∑NC
f = φ I f I
⎡
⎤
φ 1 φ 2 φ NC
f = ⎣ φ 1 φ 2 ... ... ... φ NC ⎦
φ 1 φ 2 φ NC } {{ }
⎢
⎣
I=1
¯Φ(ξ)
⎡
f 1 1
f 1 2
f 1 3
...
...
f NC
1
f2
NC
f NC
3
⎤
⎥
⎦
} {{ }
f e
Reemplazando en la expresión del trabajo virtual de las fuerzas de contacto, tenemos que:
∫
∫
S e
f δu dS e = δu T e
S e
˜Φ T ˜Φ dS f e = δu T e
˜M f e = δu T e
g e
Similarmente al caso de la matriz de rigidez, se obtiene un vector global de cargas nodales
equivalentes r ensamblando las contribuciones de las fuerzas másicas elementales y de las fuerzas
de contacto. El trabajo virtual externo puede escribirse en forma compacta como:
∫
∫
− F δu dv − f δu dS σ = −δu T G r
v
S σ
Sumando entonces trabajo virtual interno mas externo e igualando a 0.
∫
∫
∫
σ ij δε ij dv − F δu dv − f δu dS σ
∼ = δu
T
G K u G − δu T G r = 0
v
v
S σ
Finalmente la condición impuesta por el P.T.V. requiere que los δu G puedan tomar cualquier
valor en forma independiente lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones lineales algebraicas
simultáneas
K u G = r
6.8. Elemento cuadrilátero de cuatro nodos
Como ejemplo de un elemento sencillo obtendremos la matriz de rigidez y el vector de cargas
nodales equivalentes de un elemento cuadrilátero de 4 nodos para estados planos (problemas
bidimensionales)
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