Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

6.7.1. Deformaciones y tensiones, notación matricial
Definido el campo de desplazamientos es posible encontrar las deformaciones asociadas
ε ij = 1 2
( ∂uj
∂x i
+ ∂u i
∂x j
)
= 1 2
NN∑
I=1
( ∂φ
I
)
u I i
∂x + ∂φI u I j
j ∂x i
Por razones de conveniencia escribiremos las deformaciones ε ij en forma de un arreglo unidimensional
(vector)
⎡ ⎤ ⎡
⎤
ε 11
φ I′ 1
ε 22
ε =
ε 33
NN∑
φ I′ ⎡ ⎤
2
⎢ 2ε 12
=
φ I′ u I 1
3
⎣
⎥ I=1 ⎢ φ I′ 2 φ I′ u I ⎦
2
1 ⎥
⎣ 2ε 23
⎦ ⎣ φ I′ 3 φ I′ ⎦ u I 3
2
2ε 13 φ I′ 3 φ I′ 1
ε =
NN∑
I=1
B I u I = B u e
donde hemos usado la notación φ I′ i = ∂φI
∂x i
y se han agrupado los desplazamientos nodales del
elemento en un vector u T e = [ u 1 , u 2 , ...., u NN] . La matriz B que relaciona deformaciones con
desplazamientos se obtiene agrupando en forma similar las B I :
B = [ B 1 , B 2 , ...., B NN]
En cuanto a las deformaciones virtuales, dada la similitud de las definiciones de δu y u resulta:
δε = B δu e
A continuación resulta necesario incluir las relaciones constitutivas del problema. Aquí nos
restringiremos a un material isótropo lineal elástico, sin embargo es posible utilizar cualquier
relación elasto-plástica válida (es decir que satisfaga las leyes de la termodinámica). Para el caso
de que la relación constitutiva fuera no lineal, es necesario un proceso incremental iterativo. Al
igual que con las deformaciones, agrupemos las componentes del tensor de tensiones en un vector
⎡
σ =
⎢
⎣
⎤
σ 11
σ 22
σ 33
σ 12
⎥
σ 23
⎦
σ 31
= E
1 + ν
⎡
⎢
⎣
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
1
2
1
2
1
2
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
ε 11
ε 22
ε 33
2ε 12
⎥
2ε 23
⎦
2ε 13
= Dε
De esta forma se ha escrito la relación entre dos tensores de segundo orden, que involucra al
tensor constitutivo que es de cuarto orden, como una relación entre vectores a través de una matriz.
6.7.2. Matrices de rigidez elemental y global
Veamos entonces como introducir estas definiciones en la expresión del T.V.Interno, recordemos
que el Trabajo Virtual Interno es
∫
∫
σ ij δε ij dv = (σ 11 δε 11 + σ 22 δε 22 + σ 33 δε 33 + 2σ 12 δε 12 + 2σ 23 δε 23 + 2σ 13 δε 13 ) dv
v
v
donde hemos hecho uso de la simetría de los tensores de tensión y deformación. Es fácil ver que a
partir de la definición de los vectores ε y σ en las ecuaciones precedentes podemos escribir
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