Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

ahora dependiente sólo del valor de los parámetros v I , de los nudos ubicados sobre dicho contorno.
En el caso de elementos lineales (triángulos de 3 nudos o cuadriláteros de 4 nudos), la función de
peso se expresa en cada lado exclusivamente en función de las funciones de forma de los nudos
extremos del lado. De esta forma, denominando con 1 y 2 a tales nudos, con s a la coordenada a
lo largo del lado resulta
v (s) = [ φ 1 (s) , φ 2 (s) ] [ v 1
v 2 ]
y la integral es
∫
∂Ω σ
v σ d∂Ω σ = [ v 1 , v 2] ∫ S
[ φ 1 (s)
φ 2 (s)
]
σ (s) ds = [ v 1 , v 2] [ f 1
f 2 ]
De tal forma que los valores calculados f I sumarán al término independiente en las ecuaciones
asociadas a los v I correspondientes.
6.7. Aplicación a problemas de elasticidad lineal
Trataremos de fijar las ideas anteriores abordando el problema de elasticidad lineal en base
al Principio de Trabajos Virtuales. Restrinjamos entonces nuestra atención a un subdominio (elemento).
Supongamos que los campos de desplazamientos virtuales que vamos a considerar tienen
la forma
δu =
NN∑
I=1
φ I δu I
donde NN es el número de nudos del elemento considerado. δu I son los desplazamientos virtuales
del nodo y las φ I son las funciones de interpolación elegidas convenientemente. Para el campo de
desplazamientos reales proponemos una interpolación similar.
u =
NN∑
I=1
φ I u I
Notar que esta definición del campo de desplazamientos virtuales representa una restricción a las
ecuaciones de T.V. ya que el P.T.V. exige que la igualdad se satisfaga para cualquier desplazamiento
y aquí estamos proponiendo un campo de desplazamientos que depende de un número finito de
parámetros y por ende no puede representar todos los campos de desplazamientos virtuales posibles.
Esto, de hecho, es lo que ocurre en cualquier discretización numérica.
Recordemos que una de las condiciones pedidas a las funciones de interpolación era que deben
ser continuas y derivables hasta por lo menos el orden de derivación en que aparecen en las
ecuaciones a resolver. Por ejemplo en la ecuación de Trabajos virtuales aparece
δε ιj = 1 2
( ∂δuj
∂x i
+ ∂δu )
i
∂x j
por lo que los δu deben poderse derivar al menos una vez. Además se les pedirá que el cuadrado
de la derivada integrado en el subdominio o elemento conduzca a un valor finito.
Resulta importante hacer notar que si bien se han propuesto campo similares para la interpolación
de los desplazamientos reales y virtuales, en los puntos donde los desplazamientos reales
son conocidos (S d ) los desplazamientos virtuales son nulos (recordar definición de campo de desplazamientos
virtuales). En consecuencia en dichos puntos ni el desplazamiento real es incógnita
del problema, ni el desplazamiento virtual tiene ecuación de equilibrio asociada.
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