Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Laplace resulta entonces
K IJ =
=
∫
∫
Ω e [ N
I
′ 1
N I
′ 2
Ω e [ N
I
′ ξ N I
′ η
] [ ] [
k 11 k 12 N
J
′ 1
k 21 k 22 N J
′ 2
[ ]
] J
−T k11 k 12
k 21 k 22
]
dΩ e
J −1
[ N J
′ ξ
N J
′ η
]
dΩ e
donde hemos puesto de evidencia la dependencia de la integral del mapeamiento geométrico utilizado
a través de la inversa de la matriz jacobiana. De esta forma es posible expresar todas las variables
dentro de la integral en función de las variables locales (ξ, η), por lo cual resulta conveniente al
momento de realizar la integral, modificar los límites y el diferencial dΩ e = |J| dξ dη. Respecto a
esta última expresión (fórmula que escribiremos sin demostración) relaciona el diferencial de área
en el plano (x 1 , x 2 ) con el diferencial de área en el elemento maestro a través del determinante
jacobiano. Claramente para que esta expresión tenga sentido físico resulta necesario que el determinante
jacobiano sea siempre positivo, en el caso de cuadriláteros esto impone la condición de
que los ángulos internos sean menores a 180 0 y para elementos cuadráticos es necesario que los
nudos sobre los lados estén ubicados en el tercio central del lado.
Notar que la existencia de la inversa de la matriz jacobiana hace muy dificil (tal vez imposible)
realizar la integral indicada en forma explícita y resulta en general necesario recurrir a técnicas de
integración numérica.
La inversa de la matriz jacobiana puede evaluarse en forma explícita en la medida en que
esta sea constante en todo el elemento, así ocurre para triángulos de lados rectos (lineales) o
paralelogramos.
Las reglas de integración numérica en dominios bidimensionales son similares conceptualmente
a las de dominios unidimensionales. Las reglas de cuadratura para elementos cuadriláteros se
derivan usualmente tratando la integración sobre el elemento maestro como una doble integral. Si
escribimos
∫
G (ξ, η) dξ dη =
ˆΩ
∫ −1
−1
[∫ 1
]
G (ξ, η) dξ dη
−1
y aproximamos las integrales con respecto a ξ y con respecto a η usando una regla de integración
unidimensional con N puntos como se discutiera antes, se tiene:
∫
[
N∑ N
]
∑
G (ξ, η) dξ dη = G (ξ n , η m ) w n w m
ˆΩ
m=1
donde los ξ n y η m son las coordenadas de los puntos de muestreo y las w n y w m los respectivos
pesos. Estas reglas de integración, evalúan en forma exacta polinomios de grado (2N − 1) en cada
dirección. Notar que el integrando G (ξ, η) incluye dos veces la inversa de la matriz jacobiana (una
función racional en general) y no resulta obvio el grado del polinomio involucrado. Los puntos de
muestreo y sus respectivos pesos se dan a continuación para una dimensión
n=1
Elemento ξ l w l
Lineal 0,0 2,0
Cuadrático −1/ √ 3 1,0
1/ √ 3 1,0
√
3/5 5/9
Cúbico 0,0 8/9
√
3/5 5/9
Para elementos triangulares las reglas de integración no pueden deducirse de la regla unidimensional.
Los puntos de muestreo y su respectivos pesos se dan a continuación en forma de
tabla.
114