Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Un nudo definido sobre el elemento maestro con coordenadas ( ξ I , η I) se corresponderá en el
plano con el par coordenado x I .
Las coordenadas del contorno quedan definidas exclusivamente por las coordenadas de los
nudos que forman el lado, lo que asegura continuidad de la geometría entre elementos sin
solapamientos ni brechas
Figura 4 Elemento finito Ω e en el plano (x, y) obtenido como la imagen del mapeamiento T e del
correspondiente elemento maestro ¯Ω en el plano (ξ, η). También se indica el mapeamiento inverso Te
−1
de Ω e a ¯Ω.
En el caso del triángulo (lineal) de 3 nodos esto no representa ningún cambio práctico pero
si desde el punto de vista formal, en tanto que para el cuadrilátero bilineal si hay un cambio
substancial que permite utilizar ahora elementos cuadriláteros de forma arbitraria (aunque veremos
más adelante que los ángulos interiores no deben superar los 180 o en ningún caso) y ya no
exclusivamente rectangulares.
Resulta entonces posible ahora utilizar elementos de lados curvos (en elementos con más de
dos nudos en cada lado), en particular esto resulta útil en los contornos exteriores de la geometría
del problema, ya que para la interface entre elementos es conveniente utilizar contornos rectos.
Veamos como interviene esta parametrización de la geometría (el dominio) en la generación de
las ecuaciones del problema. Para la obtención del gradiente de la variable tendremos ahora que:
( ∂u
∇u = , ∂u )
=
∂x 1 ∂x 2
( NN∑
I=1
donde la aplicación de la regla de la cadena supone
)
∂N I (ξ, η)
NN∑
u I ∂N I (ξ, η)
,
u I
∂x 1 ∂x
I=1 2
112
∂N I (ξ, η)
= ∂N I (ξ, η) ∂ξ
+ ∂N I (ξ, η) ∂η
∂x 1 ∂ξ ∂x 1 ∂η ∂x 1